Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2}{x^{2} + 1} \cdot (d x)$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Associez $d$ et $\frac{2}{x^{2} + 1}$ .

$\int \frac{d \cdot 2}{x^{2} + 1} \cdot x d x$

Étape 1.2

Associez $\frac{d \cdot 2}{x^{2} + 1}$ et $x$ .

$\int \frac{d \cdot 2 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 1.3

Déplacez $2$ à gauche de $d$ .

$\int \frac{2 d x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2

Comme $2 d$ est constant par rapport à $x$ , placez $2 d$ en dehors de l’intégrale.

$2 d \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 d \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 d \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 4.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$2 d \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 d (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$d (\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 6.2

Associez $\frac{2}{2}$ et $d$ .

$\frac{2 d}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 d}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 6.3.2

Divisez $d$ par $1$ .

$d \int \frac{1}{u} d u$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$d (\ln (| u |) + C)$

Étape 8

Simplifiez

$d \ln (| u |) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$d \ln (| x^{2} + 1 |) + C$