Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4}{\sqrt{x}} + e^{3 x} + \frac{2}{x}$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Étape 2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Étape 3.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Étape 3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Étape 5

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 5.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Étape 6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Étape 8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{3} (e^{u} + C) + \int \frac{2}{x} d x$

Étape 9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{3} (e^{u} + C) + 2 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{3} (e^{u} + C) + 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 11

Simplifiez

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{u}}{3} + 2 \ln (| x |) + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{3 x}}{3} + 2 \ln (| x |) + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} e^{3 x} + 2 \ln (| x |) + C$