Calcul infinitésimal Exemples

$\cos^{4} (2 x)$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \cos^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2

Associez $\cos^{4} (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \cos^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} \int {\cos (u_{1})}^{2 (2)} d u_{1}$

Étape 4.2

Réécrivez ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$\frac{1}{2} \int {(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Étape 5

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Étape 6

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 6.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2})$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2}$

Étape 8.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \int {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2}$

Étape 8.2

Réécrivez $\frac{1 + \cos (u_{2})}{2}$ comme un produit.

$\frac{1}{4} \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})))}^{2} d u_{2}$

Étape 8.3

Développez ${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})))}^{2}$ .

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Étape 8.3.1

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 8.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 8.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.7

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.8

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.9

Déplacez $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.10

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.11

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.12

Déplacez $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.13

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) + 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.14

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.15

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.16

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.17

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.18

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.19

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.20

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.21

Associez $\frac{1}{4}$ et $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.22

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.23

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.24

Multipliez $\frac{\cos (u_{2})}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.25

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.26

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.27

Multipliez $\frac{\cos (u_{2})}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2 \cdot 2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.28

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.29

Associez $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ et $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2}) \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 8.3.30

Élevez $\cos (u_{2})$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{2}) \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 8.3.31

Élevez $\cos (u_{2})$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{2}) \cos^{1} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 8.3.32

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{{\cos (u_{2})}^{1 + 1}}{4} d u_{2}$

Étape 8.3.33

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 8.3.34

Additionnez $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ et $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + 2 \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 8.3.35

Associez $2$ et $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 8.3.36

Remettez dans l’ordre $\frac{2 \cos (u_{2})}{4}$ et $\frac{\cos^{2} (u_{2})}{4}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 8.3.37

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{4}$ et $\frac{\cos^{2} (u_{2})}{4}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (\cos (u_{2}))}{4} d u_{2}$

Étape 8.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{2 \cdot 2} d u_{2}$

Étape 8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{2 \cdot 2} d u_{2}$

Étape 8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{4} (\int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 10

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{2}) d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 11

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (u_{2})$ en $\frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 13.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 14

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (\int d u_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 15

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 16

Laissez $u_{3} = 2 u_{2}$ . Alors $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 16.1

Laissez $u_{3} = 2 u_{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 16.1.1

Différenciez $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

Étape 16.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $2 u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Étape 16.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 16.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 16.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 17

Associez $\cos (u_{3})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 18

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 19

L’intégrale de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sin (u_{3})$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C)) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 20

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C)) + \frac{1}{4} u_{2} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 21

Associez $\frac{1}{4}$ et $u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C)) + \frac{u_{2}}{4} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 22

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C)) + \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Étape 23

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C)) + \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Étape 24

Simplifiez

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Étape 24.1

Simplifiez

$\frac{1}{4} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{u_{2}}{4} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

Étape 24.2

Simplifiez

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Étape 24.2.1

Pour écrire $\frac{u_{2}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{u_{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

Étape 24.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 24.2.2.1

Multipliez $\frac{u_{2}}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{u_{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

Étape 24.2.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{u_{2} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

Étape 24.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} (\frac{u_{2} + u_{2} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

Étape 24.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{u_{2} + 2 \cdot u_{2}}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

Étape 24.2.5

Additionnez $u_{2}$ et $2 u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 u_{2}}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

Étape 25

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 25.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 (2 u_{1})}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (2 u_{1})}{2}) + C$

Étape 25.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 (2 u_{1})}{8} + \frac{\sin (2 u_{2})}{16} + \frac{\sin (2 u_{1})}{2}) + C$

Étape 25.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 (2 (2 x))}{8} + \frac{\sin (2 u_{2})}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Étape 25.4

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 (2 (2 x))}{8} + \frac{\sin (2 (2 u_{1}))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Étape 25.5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 (2 (2 x))}{8} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Étape 26

Simplifiez

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Étape 26.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 26.1.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 26.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $3 (2 (2 x))$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 (3 (2 x))}{8} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Étape 26.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 26.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 (3 (2 x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Étape 26.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (\frac{2 (3 (2 x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Étape 26.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} (\frac{3 (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Étape 26.1.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 26.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $3 (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 (3 (x))}{4} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Étape 26.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 26.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 2} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Étape 26.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 2} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Étape 26.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} (\frac{3 (x)}{2} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Étape 26.1.3

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 26.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (4 \cdot 2 x)}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Étape 26.1.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (8 x)}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Étape 26.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (8 x)}{16} + \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Étape 26.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (8 x)}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Étape 26.3

Simplifiez

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Étape 26.3.1

Multipliez $\frac{1}{4} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

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Étape 26.3.1.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{3 x}{4 \cdot 2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (8 x)}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Étape 26.3.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (8 x)}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Étape 26.3.2

Multipliez $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (8 x)}{16}$ .

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Étape 26.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{\sin (8 x)}{16}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (8 x)}{4 \cdot 16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Étape 26.3.2.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (8 x)}{64} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Étape 26.3.3

Multipliez $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}$ .

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Étape 26.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (8 x)}{64} + \frac{\sin (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

Étape 26.3.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (8 x)}{64} + \frac{\sin (4 x)}{8} + C$

Étape 27

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{8} x + \frac{1}{64} \sin (8 x) + \frac{1}{8} \sin (4 x) + C$