Calcul infinitésimal Exemples

$\cos^{3} (2 x) \sin^{2} (2 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \cos^{3} (u_{1}) \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos^{3} (u_{1})$ .

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{2} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 2.2

Associez $\frac{\cos^{3} (u_{1})}{2}$ et $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1}) \sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Factorisez $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cos^{2} (u_{1})$ comme $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6

Laissez $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , donc $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Laissez $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Différenciez $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Étape 6.1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 7

Multipliez $(1 - {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Multipliez ${u_{2}}^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 8.2

Multipliez ${u_{2}}^{2}$ par ${u_{2}}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Déplacez ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} - ({u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Étape 8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Étape 8.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int - {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C + \int - {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C - \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{4}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C - (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C))$

Étape 13

Simplifiez

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} - \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}) + C$

Étape 14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1}) - \frac{1}{5} \sin^{5} (u_{1})) + C$

Étape 14.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \sin^{3} (2 x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (2 x)) + C$