Calcul infinitésimal Exemples

${(e^{- 2 x} + 1)}^{3}$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\int {(e^{- 2 x})}^{3} + 3 {(e^{- 2 x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{- 2 x})}^{3}$ .

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Étape 1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{- 2 x \cdot 3} + 3 {(e^{- 2 x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 {(e^{- 2 x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{- 2 x})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 2 x \cdot 2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Étape 1.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} \cdot 1 + 1^{3} d x$

Étape 1.2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} + 1^{3} d x$

Étape 1.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} + 1 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int e^{- 6 x} d x + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Étape 3

Laissez $u_{1} = - 6 x$ . Alors $d u_{1} = - 6 d x$ , donc $- \frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{1} = - 6 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 3.1.2

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$- 6$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{- 6} d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Étape 4

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int e^{u_{1}} (- \frac{1}{6}) d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Étape 4.2

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{e^{u_{1}}}{6} d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{e^{u_{1}}}{6} d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Étape 6

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{6} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Étape 7

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Étape 8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Étape 9

Laissez $u_{2} = - 4 x$ . Alors $d u_{2} = - 4 d x$ , donc $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 9.1

Laissez $u_{2} = - 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 9.1.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Étape 10

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Étape 10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Étape 10.2

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}) + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Étape 12

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 3 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Étape 13

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 3 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Étape 14

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Étape 14.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 3$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 3}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Étape 14.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Étape 15

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Étape 16

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int e^{- 2 x} d x + \int d x$

Étape 17

Laissez $u_{3} = - 2 x$ . Alors $d u_{3} = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{3} = d x$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 17.1

Laissez $u_{3} = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Étape 17.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 17.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 17.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 17.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 17.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3} + \int d x$

Étape 18

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Étape 18.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3} + \int d x$

Étape 18.2

Associez $e^{u_{3}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3} + \int d x$

Étape 19

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}) + \int d x$

Étape 20

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - 3 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3} + \int d x$

Étape 21

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - 3 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}) + \int d x$

Étape 22

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Étape 22.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 3$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + \frac{- 3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3} + \int d x$

Étape 22.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - \frac{3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3} + \int d x$

Étape 23

L’intégrale de $e^{u_{3}}$ par rapport à $u_{3}$ est $e^{u_{3}}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - \frac{3}{2} (e^{u_{3}} + C) + \int d x$

Étape 24

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - \frac{3}{2} (e^{u_{3}} + C) + x + C$

Étape 25

Simplifiez

$- \frac{1}{6} e^{u_{1}} - \frac{3}{4} e^{u_{2}} - \frac{3}{2} e^{u_{3}} + x + C$

Étape 26

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 26.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 6 x$ .

$- \frac{1}{6} e^{- 6 x} - \frac{3}{4} e^{u_{2}} - \frac{3}{2} e^{u_{3}} + x + C$

Étape 26.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 4 x$ .

$- \frac{1}{6} e^{- 6 x} - \frac{3}{4} e^{- 4 x} - \frac{3}{2} e^{u_{3}} + x + C$

Étape 26.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $- 2 x$ .

$- \frac{1}{6} e^{- 6 x} - \frac{3}{4} e^{- 4 x} - \frac{3}{2} e^{- 2 x} + x + C$