Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} - 1) d x - (y^{2} + x) d y$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int (x^{2} - 1) d x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Étape 2

Comme $d$ est constant par rapport à $x$ , placez $d$ en dehors de l’intégrale.

$d \int (x^{2} - 1) x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Étape 3

Multipliez $(x^{2} - 1) x$ .

$d \int x^{2} x - 1 x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$d \int x^{2} x^{1} - 1 x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Étape 4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$d \int x^{2 + 1} - 1 x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Étape 4.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$d \int x^{3} - 1 x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Étape 4.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$d \int x^{3} - x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$d (\int x^{3} d x + \int - x d x) + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - x d x) + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - \int x d x) + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Étape 9

Comme $- d y$ est constant par rapport à $x$ , placez $- d y$ en dehors de l’intégrale.

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) - d y \int y^{2} + x d x$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) - d y (\int y^{2} d x + \int x d x)$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \int x d x)$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 13

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Étape 13.1

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Étape 13.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 13.1.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$d (\frac{x^{4}}{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 13.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$d (\frac{x^{4}}{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \frac{x^{2}}{2} + C)$

Étape 13.2

Simplifiez

$\frac{d x^{4}}{4} - d \frac{x^{2}}{2} - d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) + C$

Étape 13.3

Simplifiez

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Étape 13.3.1

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $d$ .

$\frac{d x^{4}}{4} - \frac{x^{2} d}{2} - d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) + C$

Étape 13.3.2

Pour écrire $- d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x^{2} d}{2} + \frac{d x^{4}}{4} - d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) \cdot \frac{4}{4} + C$

Étape 13.3.3

Associez $- d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2})$ et $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x^{2} d}{2} + \frac{d x^{4}}{4} + \frac{- d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Étape 13.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{x^{2} d}{2} + \frac{d x^{4} - d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Étape 13.3.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{2} d}{2} + \frac{d x^{4} - 4 d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2})}{4} + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{2} x^{2} d + \frac{1}{4} (d x^{4} - 4 d y (y^{2} x + \frac{1}{2} x^{2})) + C$