Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (2 x) \geq \sin (x)$

Étape 1

Soustrayez $\sin (x)$ des deux côtés de l’inégalité.

$\sin (2 x) - \sin (x) \geq 0$

Étape 2

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \geq 0$

Étape 3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

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Étape 3.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Étape 3.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 5

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 5.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $2 \cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $2 \cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $2 \cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \cos (x) = 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 6.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 6.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 6.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 6.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 6.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.6.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 6.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 6.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 6.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$0 < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < π$

$π < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{π}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{π}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (2 (1)) \geq \sin (1)$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $0.90929742$ est supérieur au côté droit $0.84147098$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{3} < x < π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{3} < x < π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (2 (2)) \geq \sin (2)$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 0.75680249$ est inférieur au côté droit $0.90929742$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $π < x < \frac{5 π}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $π < x < \frac{5 π}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (2 (4)) \geq \sin (4)$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $0.98935824$ est supérieur au côté droit $- 0.75680249$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 10.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (2 (6)) \geq \sin (6)$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $- 0.53657291$ est inférieur au côté droit $- 0.27941549$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.5

Testez une valeur sur l’intervalle $2 π < x < \frac{7 π}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 π < x < \frac{7 π}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 7$

Étape 10.5.2

Remplacez $x$ par $7$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (2 (7)) \geq \sin (7)$

Étape 10.5.3

Le côté gauche $0.99060735$ est supérieur au côté droit $0.65698659$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.6

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.6.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 9$

Étape 10.6.2

Remplacez $x$ par $9$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (2 (9)) \geq \sin (9)$

Étape 10.6.3

Le côté gauche $- 0.75098724$ est inférieur au côté droit $0.41211848$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.7

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$0 < x < \frac{π}{3}$ Vrai

$\frac{π}{3} < x < π$ Faux

$π < x < \frac{5 π}{3}$ Vrai

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ Faux

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$ Vrai

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Faux

$0 < x < \frac{π}{3}$ Vrai

$\frac{π}{3} < x < π$ Faux

$π < x < \frac{5 π}{3}$ Vrai

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ Faux

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$ Vrai

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 + 2 π n \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 π n$ or $π + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

Étape 12

Associez les intervalles.

$π + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 π n or 2 π n \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 π n or 2 π + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[2 π + 2 π n, \frac{7 π}{3} + 2 π n] \cup [π + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n] \cup [2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n]$

Étape 14