Calcul infinitésimal Exemples

$| 3 - \frac{1}{x} | < \frac{1}{2}$

Étape 1

Écrivez $| 3 - \frac{1}{x} | < \frac{1}{2}$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$3 - \frac{1}{x} \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$- \frac{1}{x} \geq - 3$

Étape 1.2.2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$- \frac{1}{x} x = - 3 x$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

Étape 1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

Étape 1.2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - 3 x$

Étape 1.2.4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 x = - 1$ .

$- 3 x = - 1$

Étape 1.2.4.2

Divisez chaque terme dans $- 3 x = - 1$ par $- 3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x = - 1$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 1.2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 1.2.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 1.2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{3}$

Étape 1.2.5

Déterminez le domaine de $\frac{2 | 3 - \frac{1}{x} | - 1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 1.2.5.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 1.2.6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

Étape 1.2.7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 1.2.7.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$3 - \frac{1}{- 2} \geq 0$

Étape 1.2.7.1.3

Le côté gauche $3.5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.17$

Étape 1.2.7.2.2

Remplacez $x$ par $0.17$ dans l’inégalité d’origine.

$3 - \frac{1}{0.17} \geq 0$

Étape 1.2.7.2.3

Le côté gauche $- 2.88235294$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 1.2.7.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$3 - \frac{1}{3} \geq 0$

Étape 1.2.7.3.3

Le côté gauche $2.\overline{6}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$0 < x < \frac{1}{3}$ Faux

$x > \frac{1}{3}$ Vrai

$x < 0$ Vrai

$0 < x < \frac{1}{3}$ Faux

$x > \frac{1}{3}$ Vrai

Étape 1.2.8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 0$ ou $x \geq \frac{1}{3}$

Étape 1.3

Dans la partie où $3 - \frac{1}{x}$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$

Étape 1.4

Déterminez le domaine de $3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ et déterminez l’intersection avec $x < 0 or x \geq \frac{1}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Déterminez le domaine de $3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 1.4.1.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 1.4.2

Déterminez l’intersection de $x < 0 or x \geq \frac{1}{3}$ et $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$x < 0 or x \geq \frac{1}{3}$

Étape 1.5

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$3 - \frac{1}{x} < 0$

Étape 1.6

Résolvez l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$- \frac{1}{x} < - 3$

Étape 1.6.2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$- \frac{1}{x} x = - 3 x$

Étape 1.6.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

Étape 1.6.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

Étape 1.6.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - 3 x$

Étape 1.6.4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.4.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 x = - 1$ .

$- 3 x = - 1$

Étape 1.6.4.2

Divisez chaque terme dans $- 3 x = - 1$ par $- 3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x = - 1$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 1.6.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 1.6.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 1.6.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.4.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{3}$

Étape 1.6.5

Déterminez le domaine de $\frac{2 | 3 - \frac{1}{x} | - 1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 1.6.5.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 1.6.6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

Étape 1.6.7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 1.6.7.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$3 - \frac{1}{- 2} < 0$

Étape 1.6.7.1.3

Le côté gauche $3.5$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.6.7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.17$

Étape 1.6.7.2.2

Remplacez $x$ par $0.17$ dans l’inégalité d’origine.

$3 - \frac{1}{0.17} < 0$

Étape 1.6.7.2.3

Le côté gauche $- 2.88235294$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.6.7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 1.6.7.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$3 - \frac{1}{3} < 0$

Étape 1.6.7.3.3

Le côté gauche $2.\overline{6}$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.6.7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{1}{3}$ Vrai

$x > \frac{1}{3}$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{1}{3}$ Vrai

$x > \frac{1}{3}$ Faux

Étape 1.6.8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < \frac{1}{3}$

Étape 1.7

Dans la partie où $3 - \frac{1}{x}$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (3 - \frac{1}{x}) < \frac{1}{2}$

Étape 1.8

Déterminez le domaine de $- (3 - \frac{1}{x}) < \frac{1}{2}$ et déterminez l’intersection avec $0 < x < \frac{1}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Déterminez le domaine de $- (3 - \frac{1}{x}) < \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 1.8.1.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 1.8.2

Déterminez l’intersection de $0 < x < \frac{1}{3}$ et $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$0 < x < \frac{1}{3}$

Étape 1.9

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} 3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & x < 0 or x \geq \frac{1}{3} \\ - (3 - \frac{1}{x}) < \frac{1}{2} & 0 < x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Étape 1.10

Simplifiez $- (3 - \frac{1}{x}) < \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} 3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & x < 0 or x \geq \frac{1}{3} \\ - 1 \cdot 3 - - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & 0 < x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Étape 1.10.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

${\begin{cases} 3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & x < 0 or x \geq \frac{1}{3} \\ - 3 - - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & 0 < x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Étape 1.10.3

Multipliez $- - \frac{1}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.10.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${\begin{cases} 3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & x < 0 or x \geq \frac{1}{3} \\ - 3 + 1 \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & 0 < x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Étape 1.10.3.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

${\begin{cases} 3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & x < 0 or x \geq \frac{1}{3} \\ - 3 + \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & 0 < x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ quand $x < 0 or x \geq \frac{1}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Résolvez $3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$- \frac{1}{x} < \frac{1}{2} - 3$

Étape 2.1.1.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{x} < \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.1.1.3

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{x} < \frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Étape 2.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{x} < \frac{1 - 3 \cdot 2}{2}$

Étape 2.1.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.5.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- \frac{1}{x} < \frac{1 - 6}{2}$

Étape 2.1.1.5.2

Soustrayez $6$ de $1$ .

$- \frac{1}{x} < \frac{- 5}{2}$

Étape 2.1.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x} < - \frac{5}{2}$

Étape 2.1.2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$- \frac{1}{x} x = - \frac{5}{2} x$

Étape 2.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{x} x = - \frac{5}{2} x$

Étape 2.1.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{x} x = - \frac{5}{2} x$

Étape 2.1.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - \frac{5}{2} x$

Étape 2.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.2.1

Simplifiez $- \frac{5}{2} x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.2.1.1

Associez $x$ et $\frac{5}{2}$ .

$- 1 = - \frac{x \cdot 5}{2}$

Étape 2.1.3.2.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$- 1 = - \frac{5 x}{2}$

Étape 2.1.4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{5 x}{2} = - 1$ .

$- \frac{5 x}{2} = - 1$

Étape 2.1.4.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{2}{5}$ .

$- \frac{2}{5} (- \frac{5 x}{2}) = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Étape 2.1.4.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.3.1.1

Simplifiez $- \frac{2}{5} (- \frac{5 x}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{5}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{5} (- \frac{5 x}{2}) = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Étape 2.1.4.3.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5 x}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{5} \cdot \frac{- 5 x}{2} = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Étape 2.1.4.3.1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 x}{2} = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Étape 2.1.4.3.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 x}{2} = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Étape 2.1.4.3.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{5} (- 5 x) = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Étape 2.1.4.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.3.1.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{- 1}{5} (5 (- x)) = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Étape 2.1.4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{5} (5 (- x)) = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Étape 2.1.4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- - x = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Étape 2.1.4.3.1.1.3

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.3.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Étape 2.1.4.3.1.1.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Étape 2.1.4.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.3.2.1

Multipliez $- \frac{2}{5} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 (\frac{2}{5})$

Étape 2.1.4.3.2.1.2

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Étape 2.1.5

Déterminez le domaine de $- \frac{1}{x} + \frac{5}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2.1.5.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 2.1.6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{2}{5}$

$x > \frac{2}{5}$

Étape 2.1.7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 2.1.7.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$3 - \frac{1}{- 2} < \frac{1}{2}$

Étape 2.1.7.1.3

Le côté gauche $3.5$ n’est pas inférieur au côté droit $0.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.1.7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{2}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{2}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.2$

Étape 2.1.7.2.2

Remplacez $x$ par $0.2$ dans l’inégalité d’origine.

$3 - \frac{1}{0.2} < \frac{1}{2}$

Étape 2.1.7.2.3

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $0.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.1.7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{2}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{2}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 2.1.7.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$3 - \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$

Étape 2.1.7.3.3

Le côté gauche $2.\overline{6}$ n’est pas inférieur au côté droit $0.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.1.7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{2}{5}$ Vrai

$x > \frac{2}{5}$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{2}{5}$ Vrai

$x > \frac{2}{5}$ Faux

Étape 2.1.8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < \frac{2}{5}$

Étape 2.2

Déterminez l’intersection de $0 < x < \frac{2}{5}$ et $x < 0 or x \geq \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \leq x < \frac{2}{5}$

Étape 3

Résolvez $- 3 + \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ quand $0 < x < \frac{1}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Résolvez $- 3 + \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’inégalité.

$\frac{1}{x} < \frac{1}{2} + 3$

Étape 3.1.1.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.1.1.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Étape 3.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x} < \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 3.1.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{x} < \frac{1 + 6}{2}$

Étape 3.1.1.5.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$\frac{1}{x} < \frac{7}{2}$

Étape 3.1.2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{1}{x} x = \frac{7}{2} x$

Étape 3.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} x = \frac{7}{2} x$

Étape 3.1.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{7}{2} x$

Étape 3.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.2.1

Associez $\frac{7}{2}$ et $x$ .

$1 = \frac{7 x}{2}$

Étape 3.1.4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{7 x}{2} = 1$ .

$\frac{7 x}{2} = 1$

Étape 3.1.4.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{7} \cdot \frac{7 x}{2} = \frac{2}{7} \cdot 1$

Étape 3.1.4.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.4.3.1.1

Simplifiez $\frac{2}{7} \cdot \frac{7 x}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.4.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{7} \cdot \frac{7 x}{2} = \frac{2}{7} \cdot 1$

Étape 3.1.4.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{7} (7 x) = \frac{2}{7} \cdot 1$

Étape 3.1.4.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.4.3.1.1.2.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$\frac{1}{7} (7 (x)) = \frac{2}{7} \cdot 1$

Étape 3.1.4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{7} (7 x) = \frac{2}{7} \cdot 1$

Étape 3.1.4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2}{7} \cdot 1$

Étape 3.1.4.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.4.3.2.1

Multipliez $\frac{2}{7}$ par $1$ .

$x = \frac{2}{7}$

Étape 3.1.5

Déterminez le domaine de $\frac{1}{x} - \frac{7}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 3.1.5.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 3.1.6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{2}{7}$

$x > \frac{2}{7}$

Étape 3.1.7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 3.1.7.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$- 3 + \frac{1}{- 2} < \frac{1}{2}$

Étape 3.1.7.1.3

Le côté gauche $- 3.5$ est inférieur au côté droit $0.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 3.1.7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{2}{7}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{2}{7}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.14$

Étape 3.1.7.2.2

Remplacez $x$ par $0.14$ dans l’inégalité d’origine.

$- 3 + \frac{1}{0.14} < \frac{1}{2}$

Étape 3.1.7.2.3

Le côté gauche $4.\overline{142857}$ n’est pas inférieur au côté droit $0.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.1.7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{2}{7}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{2}{7}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 3.1.7.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$- 3 + \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$

Étape 3.1.7.3.3

Le côté gauche $- 2.\overline{6}$ est inférieur au côté droit $0.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 3.1.7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$0 < x < \frac{2}{7}$ Faux

$x > \frac{2}{7}$ Vrai

$x < 0$ Vrai

$0 < x < \frac{2}{7}$ Faux

$x > \frac{2}{7}$ Vrai

Étape 3.1.8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 0$ ou $x > \frac{2}{7}$

Étape 3.2

Déterminez l’intersection de $x < 0 or x > \frac{2}{7}$ et $0 < x < \frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{7} < x < \frac{1}{3}$

Étape 4

Déterminez l’union des solutions.

$\frac{2}{7} < x < \frac{2}{5}$

Étape 5

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(\frac{2}{7}, \frac{2}{5})$

Étape 6