Calcul infinitésimal Exemples

${(x - 2)}^{2} (24 - 4 x) > 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

$24 - 4 x = 0$

Étape 2

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 2.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3

Définissez $24 - 4 x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $24 - 4 x$ égal à $0$ .

$24 - 4 x = 0$

Étape 3.2

Résolvez $24 - 4 x = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $24$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x = - 24$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 24$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 24$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 24}{- 4}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 24}{- 4}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 24}{- 4}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Divisez $- 24$ par $- 4$ .

$x = 6$

Étape 4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x - 2)}^{2} (24 - 4 x) > 0$ vraie.

$x = 2, 6$

Étape 5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 2$

$2 < x < 6$

$x > 6$

Étape 6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 6.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${((0) - 2)}^{2} (24 - 4 \cdot 0) > 0$

Étape 6.1.3

Le côté gauche $96$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 6.2.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${((4) - 2)}^{2} (24 - 4 \cdot 4) > 0$

Étape 6.2.3

Le côté gauche $32$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 6.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

${((8) - 2)}^{2} (24 - 4 \cdot 8) > 0$

Étape 6.3.3

Le côté gauche $- 288$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 2$ Vrai

$2 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

$x < 2$ Vrai

$2 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

Étape 7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 2$ ou $2 < x < 6$

Étape 8

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, 2) \cup (2, 6)$

Étape 9