Calcul infinitésimal Exemples

$\tan (x) \geq 1$

Étape 1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x \geq \arctan (1)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x \geq \frac{π}{4}$

Étape 3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 4

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 4.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Déterminez le domaine de $\tan (x) - 1$ .

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Étape 8.1

Définissez l’argument dans $\tan (x)$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (1) \geq 1$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $1.55740772$ est supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (3) \geq 1$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 0.14254654$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Vrai

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$ Faux

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Vrai

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{4} + π n \leq x < \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[\frac{π}{4} + π n, \frac{π}{2} + π n)$

Étape 13