Calcul infinitésimal Exemples

$12 x^{2} - 7 x - 12 < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$12 x^{2} - 7 x - 12 = 0$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 12 \cdot - 12 = - 144$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 x$ .

$12 x^{2} - 7 x - 12 = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $9$ plus $- 16$

$12 x^{2} + (9 - 16) x - 12 = 0$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 x^{2} + 9 x - 16 x - 12 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(12 x^{2} + 9 x) - 16 x - 12 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 x (4 x + 3) - 4 (4 x + 3) = 0$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x + 3$ .

$(4 x + 3) (3 x - 4) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 x + 3 = 0$

$3 x - 4 = 0$

Étape 4

Définissez $4 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $4 x + 3$ égal à $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $4 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 3$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 3$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{4}$

Étape 5

Définissez $3 x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $3 x - 4$ égal à $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $3 x - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 4$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 x + 3) (3 x - 4) = 0$ vraie.

$x = - \frac{3}{4}, \frac{4}{3}$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{3}{4}$

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{3}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{3}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$12 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 12 < 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $117$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$12 {(0)}^{2} - 7 \cdot 0 - 12 < 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $- 12$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{4}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{4}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$12 {(4)}^{2} - 7 \cdot 4 - 12 < 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $152$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{3}{4}$ Faux

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ Vrai

$x > \frac{4}{3}$ Faux

$x < - \frac{3}{4}$ Faux

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ Vrai

$x > \frac{4}{3}$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$

Étape 10

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \frac{3}{4}, \frac{4}{3})$

Étape 11