Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 x + 4}{3 x - 2} < 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{2 x + 4}{3 x - 2} - 1 < 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{2 x + 4}{3 x - 2} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4}{3 x - 2} - 1 < 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 2}{3 x - 2} - 1 < 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (x + 2)}{3 x - 2} - 1 < 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{3 x - 2} - 1 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2} < 0$

Étape 2.3

Associez $- 1$ et $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{3 x - 2} + \frac{- (3 x - 2)}{3 x - 2} < 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x + 2) - (3 x - 2)}{3 x - 2} < 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (3 x - 2)}{3 x - 2} < 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x + 4 - (3 x - 2)}{3 x - 2} < 0$

Étape 2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 4 - (3 x) - - 2}{3 x - 2} < 0$

Étape 2.5.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 x + 4 - 3 x - - 2}{3 x - 2} < 0$

Étape 2.5.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{2 x + 4 - 3 x + 2}{3 x - 2} < 0$

Étape 2.5.6

Soustrayez $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{- x + 4 + 2}{3 x - 2} < 0$

Étape 2.5.7

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{- x + 6}{3 x - 2} < 0$

Étape 2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) + 6}{3 x - 2} < 0$

Étape 2.7

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 6)}{3 x - 2} < 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{- (x - 6)}{3 x - 2} < 0$

Étape 2.9

Réécrivez $- (x - 6)$ comme $- 1 (x - 6)$ .

$\frac{- 1 (x - 6)}{3 x - 2} < 0$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x - 6}{3 x - 2} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 6 = 0$

$3 x - 2 = 0$

Étape 4

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 5

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 2$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 6$

$x = \frac{2}{3}$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 6, \frac{2}{3}$

Étape 9

Déterminez le domaine de $- \frac{x - 6}{3 x - 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 6}{3 x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 x - 2 = 0$

Étape 9.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 2$

Étape 9.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 9.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 9.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{2}{3}$

$\frac{2}{3} < x < 6$

$x > 6$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{2}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{2}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (0) + 4}{3 (0) - 2} < 1$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{2}{3} < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{2}{3} < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (3) + 4}{3 (3) - 2} < 1$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $1.\overline{428571}$ n’est pas inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (8) + 4}{3 (8) - 2} < 1$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $0.\overline{90}$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{2}{3}$ Vrai

$\frac{2}{3} < x < 6$ Faux

$x > 6$ Vrai

$x < \frac{2}{3}$ Vrai

$\frac{2}{3} < x < 6$ Faux

$x > 6$ Vrai

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < \frac{2}{3}$ ou $x > 6$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (6, \infty)$

Étape 14