Calcul infinitésimal Exemples

$x (x + 9) \cdot (x + 6)$

Étape 1

Laissez $u = x + 6$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x + 6$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (u - 6) (u - 6 + 9) \cdot u d u$

Étape 2

Additionnez $- 6$ et $9$ .

$\int (u - 6) (u + 3) u d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u (u + 3) - 6 (u + 3)) u d u$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u \cdot u + u \cdot 3 - 6 (u + 3)) u d u$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u \cdot u + u \cdot 3 - 6 u - 6 \cdot 3) u d u$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u \cdot u + u \cdot 3) u + (- 6 u - 6 \cdot 3) u d u$

Étape 3.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot 3 u + (- 6 u - 6 \cdot 3) u d u$

Étape 3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot 3 u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Étape 3.7

Remettez dans l’ordre $u$ et $3$ .

$\int u \cdot u \cdot u + 3 \cdot u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Étape 3.8

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Étape 3.9

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Étape 3.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{1 + 1} u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Étape 3.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int u^{2} u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Étape 3.12

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{2} u^{1} + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Étape 3.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{2 + 1} + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Étape 3.14

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int u^{3} + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Étape 3.15

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{3} + 3 (u^{1} u) - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Étape 3.16

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{3} + 3 (u^{1} u^{1}) - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Étape 3.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{3} + 3 u^{1 + 1} - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Étape 3.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Étape 3.19

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 (u^{1} u) - 6 \cdot 3 u d u$

Étape 3.20

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 (u^{1} u^{1}) - 6 \cdot 3 u d u$

Étape 3.21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u^{1 + 1} - 6 \cdot 3 u d u$

Étape 3.22

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u^{2} - 6 \cdot 3 u d u$

Étape 3.23

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u^{2} - 18 u d u$

Étape 3.24

Soustrayez $6 u^{2}$ de $3 u^{2}$ .

$\int u^{3} - 3 u^{2} - 18 u d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{3} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int - 18 u d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 3 u^{2} d u + \int - 18 u d u$

Étape 6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 \int u^{2} d u + \int - 18 u d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int - 18 u d u$

Étape 8

Comme $- 18$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 18$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) - 18 \int u d u$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) - 18 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} - 18 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} - 18 \frac{u^{2}}{2} + C$

Étape 10.2.2

Associez $- 18$ et $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{- 18 u^{2}}{2} + C$

Étape 10.2.3

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $2$ .

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Étape 10.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18 u^{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 (- 9 u^{2})}{2} + C$

Étape 10.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 (- 9 u^{2})}{2 (1)} + C$

Étape 10.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 (- 9 u^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Étape 10.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{- 9 u^{2}}{1} + C$

Étape 10.2.3.2.4

Divisez $- 9 u^{2}$ par $1$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} - 9 u^{2} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 6$ .

$\frac{{(x + 6)}^{4}}{4} - {(x + 6)}^{3} - 9 {(x + 6)}^{2} + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} {(x + 6)}^{4} - {(x + 6)}^{3} - 9 {(x + 6)}^{2} + C$