Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{y} - x^{2} = 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\frac{x}{y} - x^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x}{y} - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - (2 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - 2 x$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Associez des termes.

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Étape 2.4.1.1

Pour écrire $- 2 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - 2 x \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Étape 2.4.1.2

Associez $- 2 x$ et $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{2}}{y^{2}}$

Étape 2.4.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y - x y' - 2 x y^{2}}{y^{2}}$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x y' - 2 y^{2} x + y}{y^{2}}$

Étape 3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{- x y' - 2 y^{2} x + y}{y^{2}} = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- x y' - 2 y^{2} x + y = 0$

Étape 5.2

Résolvez l’équation pour $y'$ .

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Étape 5.2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1.1

Ajoutez $2 y^{2} x$ aux deux côtés de l’équation.

$- x y' + y = 2 y^{2} x$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$- x y' = 2 y^{2} x - y$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x y' = 2 y^{2} x - y$ par $- x$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x y' = 2 y^{2} x - y$ par $- x$ .

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Étape 5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Étape 5.2.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Étape 5.2.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 y^{2}}{- 1} + \frac{- y}{- x}$

Étape 5.2.2.3.1.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 y^{2}}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot (2 y^{2}) + \frac{- y}{- x}$

Étape 5.2.2.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (2 y^{2})$ comme $- (2 y^{2})$ .

$y' = - (2 y^{2}) + \frac{- y}{- x}$

Étape 5.2.2.3.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y' = - 2 y^{2} + \frac{- y}{- x}$

Étape 5.2.2.3.1.4

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y' = - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$