Calcul infinitésimal Exemples

Factorisez ${\displaystyle 7}$ à partir de ${\displaystyle 7xy}$.

Appliquez la règle de produit à ${\displaystyle 7\left(xy\right)}$.

Comme ${\displaystyle 7^{\frac{1}{2}}}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle 7^{\frac{1}{2}}{\left(xy\right)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 7^{\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left[{\left(xy\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}$.

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez ${\displaystyle u}$ comme ${\displaystyle xy}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{du}\left[u^n\right]}$ est ${\displaystyle n{u}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=\frac{1}{2}}$.

Remplacez toutes les occurrences de ${\displaystyle u}$ par ${\displaystyle xy}$.

Multipliez ${\displaystyle -1}$ par ${\displaystyle 2}$.

Soustrayez ${\displaystyle 2}$ de ${\displaystyle 1}$.

Placez le signe moins devant la fraction.

Associez ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et ${\displaystyle {\left(xy\right)}^{-\frac{1}{2}}}$.

Placez ${\displaystyle {\left(xy\right)}^{-\frac{1}{2}}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Associez ${\displaystyle \frac{1}{2{\left(xy\right)}^{\frac{1}{2}}}}$ et ${\displaystyle 7^{\frac{1}{2}}}$.

Appliquez la règle de produit à ${\displaystyle xy}$.

Appliquez la propriété distributive.

Associez des termes.

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${\displaystyle 5+x^{2}y}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[5\right]+\frac{d}{dx}\left[x^{2}y\right]}$.

Comme ${\displaystyle 5}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle 5}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 0}$.

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ est ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$ où ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ et ${\displaystyle g\left(x\right)=y}$.

Réécrivez ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y\right]}$ comme ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=2}$.

Déplacez ${\displaystyle 2}$ à gauche de ${\displaystyle y}$.

Additionnez ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle x^{2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}+2yx}$.

Remettez les termes dans l’ordre.

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

Comme ${\displaystyle 2y^{\frac{1}{2}},2x^{\frac{1}{2}},1,1,1}$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique ${\displaystyle 2,2,1,1,1}$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable ${\displaystyle y^{\frac{1}{2}},x^{\frac{1}{2}}}$.

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

${\displaystyle 2}$ n’a pas de facteur hormis ${\displaystyle 1}$ et ${\displaystyle 2}$.

Le nombre ${\displaystyle 1}$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Le plus petit multiple commun de ${\displaystyle 2,2,1,1,1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

Le plus petit multiple commun de ${\displaystyle y^{\frac{1}{2}},x^{\frac{1}{2}}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

Le plus petit multiple commun pour ${\displaystyle 2y^{\frac{1}{2}},2x^{\frac{1}{2}},1,1,1}$ est la partie numérique ${\displaystyle 2}$ multipliée par la partie variable.

Multipliez chaque terme dans ${\displaystyle \frac{y\mathrm{<mo>\prime </mo>}{x}^{\frac{1}{2}}\cdot 7^{\frac{1}{2}}}{2y^{\frac{1}{2}}}+\frac{7^{\frac{1}{2}}{y}^{\frac{1}{2}}}{2x^{\frac{1}{2}}}-x^{2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}-2xy=0}$ par ${\displaystyle 2y^{\frac{1}{2}}{x}^{\frac{1}{2}}}$.

Simplifiez le côté gauche.