Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{3 x + y} = 3 + x^{2} y^{2}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x + y}$ comme ${(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 3 + x^{2} y^{2}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (3 + x^{2} y^{2})$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 3 x + y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + y$ .

$\frac{1}{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Étape 3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Étape 3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(3 x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(3 x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Étape 3.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(3 x + y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Étape 3.6

Associez les fractions.

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Étape 3.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(3 x + y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Étape 3.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(3 x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3 x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Étape 3.6.3

Placez ${(3 x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.10

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.11

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (3 + y')$

Étape 3.12

Simplifiez

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Étape 3.12.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (3 + y')$ .

$(3 + y') \frac{1}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.12.2

Multipliez $3 + y'$ par $\frac{1}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 + y'}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + x^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Étape 4.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 4.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$0 + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 4.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$0 + x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$0 + x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$0 + x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x)$

Étape 4.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$0 + 2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Étape 4.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$0 + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{3 + y'}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.1

Multipliez les deux côtés par $2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 + y'}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez $\frac{3 + y'}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{3 + y'}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{3 + y'}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 + y'}{{(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de ${(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 + y'}{{(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$3 + y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.4

Remettez dans l’ordre $3$ et $y'$ .

$y' + 3 = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $(2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' + 3 = 2 x^{2} y y' (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}) + 2 y^{2} x (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$y' + 3 = 4 x^{2} y y' {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y^{2} x (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y' + 3 = 4 x^{2} y y' {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2.1.2.3

Déplacez $y$ .

$y' + 3 = 4 x^{2} y' y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2.1.2.4

Déplacez $x^{2}$ .

$y' + 3 = 4 y' x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2.1.2.5

Déplacez $y^{2}$ .

$y' + 3 = 4 y' x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.3.1

Soustrayez $4 y' x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$y' + 3 - 4 y' x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y' - 4 y' x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 3$

Étape 6.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' - 4 y' x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.3.3.1

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 4 y' x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 3$

Étape 6.3.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 4 y' x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 3$

Étape 6.3.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 3$

Étape 6.3.4

Divisez chaque terme dans $y' (1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 3$ par $1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 6.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 3$ par $1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' (1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3}{1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 6.3.4.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3}{1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 3}{1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 3}{1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$