Calcul infinitésimal Exemples

$\cos^{2} (x y) = x + y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\cos^{2} (x y)) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x y)$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (x y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (x y)$ .

$2 \cos (x y) \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x y$ .

$2 \cos (x y) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (x y) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x y$ .

$2 \cos (x y) (- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \cos (x y) (\sin (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.7

Multipliez $y$ par $1$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y' + y)$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y') - 2 \cos (x y) \sin (x y) y$

Étape 2.8.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 x \cos (x y) \sin (x y) y' - 2 y \cos (x y) \sin (x y)$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 + y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 2 x \cos (x y) \sin (x y) y' - 2 y \cos (x y) \sin (x y) = 1 + y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) y' - 2 y \cos (x y) \sin (x y)$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - 2 y \cos (x y) \sin (x y) = 1 + y'$

Étape 5.2

Soustrayez $y'$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - 2 y \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Ajoutez $2 y \cos (x y) \sin (x y)$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + 2 y \cos (x y) \sin (x y)$

Étape 5.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1

Ajoutez des parenthèses.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + 2 y (\cos (x y) \sin (x y))$

Étape 5.3.2.2

Remettez dans l’ordre $2 y$ et $\cos (x y) \sin (x y)$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \cos (x y) \sin (x y) (2 y)$

Étape 5.3.2.3

Ajoutez des parenthèses.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \cos (x y) (\sin (x y) \cdot 2) y$

Étape 5.3.2.4

Remettez dans l’ordre $\cos (x y)$ et $\sin (x y) \cdot 2$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \sin (x y) \cdot 2 \cos (x y) y$

Étape 5.3.2.5

Remettez dans l’ordre $\sin (x y)$ et $2$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + 2 \cdot \sin (x y) \cos (x y) y$

Étape 5.3.2.6

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \sin (2 x y) y$

Étape 5.3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $1 + \sin (2 x y) y$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + y \sin (2 x y)$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y)$ .

$y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y)) - y' = 1 + y \sin (2 x y)$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y)) + y' \cdot - 1 = 1 + y \sin (2 x y)$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1) = 1 + y \sin (2 x y)$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1) = 1 + y \sin (2 x y)$ par $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1) = 1 + y \sin (2 x y)$ par $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1$ .

$\frac{y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} = \frac{1}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} + \frac{y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} = \frac{1}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} + \frac{y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} + \frac{y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

Étape 5.5.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x \cos (x y) \sin (x y)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- (2 x \cos (x y) \sin (x y)) - 1}$

Étape 5.5.3.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- (2 x \cos (x y) \sin (x y)) - 1 (1)}$

Étape 5.5.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x \cos (x y) \sin (x y)) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)}$

Étape 5.5.3.5

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.5.3.5.1

Réécrivez $- (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)$ comme $- 1 (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- 1 (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)}$

Étape 5.5.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1 + y \sin (2 x y)}{2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y \sin (2 x y)}{2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1}$