Calcul infinitésimal Exemples

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 6 x y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (6 x y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Étape 2.5.2

Réorganisez les facteurs de $(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$6 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$6 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$6 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Étape 3.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$6 (2 x y y' + y^{2})$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 (2 x y y') + 6 y^{2}$

Étape 3.8.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 x y y' + 6 y^{2}$

Étape 3.8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 5.1.3

Développez $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (2 x^{2} + 2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 5.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 5.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 5.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.4.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 5.1.4.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.1.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 5.1.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 5.1.4.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 5.1.4.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 5.1.4.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 5.1.4.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y y' (2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 5.1.4.7

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.4.7.1

Déplacez $y^{2}$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 2 = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 5.1.4.7.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 5.1.4.7.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 2 = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 5.1.4.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 2 = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 5.1.4.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 2 = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 5.1.4.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Étape 5.2

Soustrayez $12 x y y'$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 12 x y y' = 6 y^{2}$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $4 x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 12 x y y' = 6 y^{2} - 4 x^{3}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $4 x y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 12 x y y' = 6 y^{2} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Étape 5.4

Factorisez $4 y y'$ à partir de $4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 12 x y y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $4 y y'$ à partir de $4 y y' x^{2}$ .

$4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 12 x y y' = 6 y^{2} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Étape 5.4.2

Factorisez $4 y y'$ à partir de $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' x^{2} + 4 y y' y^{2} - 12 x y y' = 6 y^{2} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Étape 5.4.3

Factorisez $4 y y'$ à partir de $- 12 x y y'$ .

$4 y y' x^{2} + 4 y y' y^{2} + 4 y y' (- 3 x) = 6 y^{2} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Étape 5.4.4

Factorisez $4 y y'$ à partir de $4 y y' x^{2} + 4 y y' y^{2}$ .

$4 y y' (x^{2} + y^{2}) + 4 y y' (- 3 x) = 6 y^{2} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Étape 5.4.5

Factorisez $4 y y'$ à partir de $4 y y' (x^{2} + y^{2}) + 4 y y' (- 3 x)$ .

$4 y y' (x^{2} + y^{2} - 3 x) = 6 y^{2} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $4 y y' (x^{2} + y^{2} - 3 x) = 6 y^{2} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ par $4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $4 y y' (x^{2} + y^{2} - 3 x) = 6 y^{2} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ par $4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)$ .

$\frac{4 y y' (x^{2} + y^{2} - 3 x)}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} = \frac{6 y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (x^{2} + y^{2} - 3 x)}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} = \frac{6 y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (x^{2} + y^{2} - 3 x)}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} = \frac{6 y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 3 x)}{x^{2} + y^{2} - 3 x} = \frac{6 y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.2.3

Annulez le facteur commun de $x^{2} + y^{2} - 3 x$ .

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Étape 5.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 3 x)}{x^{2} + y^{2} - 3 x} = \frac{6 y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{6 y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 5.5.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 y^{2}$ .

$y' = \frac{2 (3 y^{2})}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)$ .

$y' = \frac{2 (3 y^{2})}{2 (2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x))} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (3 y^{2})}{2 (2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x))} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{3 y^{2}}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 5.5.3.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (3 y)}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)$ .

$y' = \frac{y (3 y)}{y (2 (x^{2} + y^{2} - 3 x))} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y (3 y)}{y (2 (x^{2} + y^{2} - 3 x))} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

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Étape 5.5.3.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{4 (- x^{3})}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)$ .

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (y (x^{2} + y^{2} - 3 x))} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (y (x^{2} + y^{2} - 3 x))} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.1.5

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

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Étape 5.5.3.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)$ .

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 (y (x^{2} + y^{2} - 3 x))}$

Étape 5.5.3.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 (y (x^{2} + y^{2} - 3 x))}$

Étape 5.5.3.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- x y^{2}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.1.6

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 5.5.3.1.6.1

Factorisez $y$ à partir de $- x y^{2}$ .

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{y (- x y)}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{y (- x y)}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.1.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- x y}{x^{2} + y^{2} - 3 x}$

Étape 5.5.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x y}{x^{2} + y^{2} - 3 x}$

Étape 5.5.3.2

Pour écrire $- \frac{x y}{x^{2} + y^{2} - 3 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x y}{x^{2} + y^{2} - 3 x} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.5.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.5.3.3.1

Multipliez $\frac{x y}{x^{2} + y^{2} - 3 x}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x y \cdot 2}{(x^{2} + y^{2} - 3 x) \cdot 2}$

Étape 5.5.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} + y^{2} - 3 x) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x y \cdot 2}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{3 y - x y \cdot 2}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.3.5.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y - x y \cdot 2$ .

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Étape 5.5.3.5.1.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$y' = - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{y \cdot 3 - x y \cdot 2}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.5.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- x y \cdot 2$ .

$y' = - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{y \cdot 3 + y (- x \cdot 2)}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.5.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 3 + y (- x \cdot 2)$ .

$y' = - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{y (3 - x \cdot 2)}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y' = - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{y (3 - 2 x)}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.6

Pour écrire $- \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (3 - 2 x)}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.7

Pour écrire $\frac{y (3 - 2 x)}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (3 - 2 x)}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 5.5.3.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (x^{2} + y^{2} - 3 x) \cdot 2$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.5.3.8.1

Multipliez $\frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{x^{3} \cdot 2}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x) \cdot 2} + \frac{y (3 - 2 x)}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 5.5.3.8.2

Multipliez $\frac{y (3 - 2 x)}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$ par $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{x^{3} \cdot 2}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x) \cdot 2} + \frac{y (3 - 2 x) y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x) y}$

Étape 5.5.3.8.3

Réorganisez les facteurs de $y (x^{2} + y^{2} - 3 x) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{x^{3} \cdot 2}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{y (3 - 2 x) y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x) y}$

Étape 5.5.3.8.4

Réorganisez les facteurs de $2 (x^{2} + y^{2} - 3 x) y$ .

$y' = - \frac{x^{3} \cdot 2}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{y (3 - 2 x) y}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- x^{3} \cdot 2 + y (3 - 2 x) y}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.3.10.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x^{3} + y (3 - 2 x) y}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.10.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.10.2.1

Déplacez $y$ .

$y' = \frac{- 2 x^{3} + y \cdot y (3 - 2 x)}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.10.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y' = \frac{- 2 x^{3} + y^{2} (3 - 2 x)}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{- 2 x^{3} + y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- 2 x)}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.10.4

Déplacez $3$ à gauche de $y^{2}$ .

$y' = \frac{- 2 x^{3} + 3 \cdot y^{2} + y^{2} (- 2 x)}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.10.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{- 2 x^{3} + 3 y^{2} - 2 y^{2} x}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.11

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.5.3.11.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$y' = \frac{- (2 x^{3}) + 3 y^{2} - 2 y^{2} x}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.11.2

Factorisez $- 1$ à partir de $3 y^{2}$ .

$y' = \frac{- (2 x^{3}) - (- 3 y^{2}) - 2 y^{2} x}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.11.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{3}) - (- 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{- (2 x^{3} - 3 y^{2}) - 2 y^{2} x}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.11.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{- (2 x^{3} - 3 y^{2}) - (2 y^{2} x)}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.11.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{3} - 3 y^{2}) - (2 y^{2} x)$ .

$y' = \frac{- (2 x^{3} - 3 y^{2} + 2 y^{2} x)}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.11.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.3.11.6.1

Réécrivez $- (2 x^{3} - 3 y^{2} + 2 y^{2} x)$ comme $- 1 (2 x^{3} - 3 y^{2} + 2 y^{2} x)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x^{3} - 3 y^{2} + 2 y^{2} x)}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 5.5.3.11.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x^{3} - 3 y^{2} + 2 y^{2} x}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x^{3} - 3 y^{2} + 2 y^{2} x}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$