Calcul infinitésimal Exemples

${(3 y^{3} - 7)}^{5} + 5 x^{3} = 15 x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(3 y^{3} - 7)}^{5} + 5 x^{3}) = \frac{d}{d x} (15 x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{d}{d x} [{(3 y^{3})}^{5} + 5 {(3 y^{3})}^{4} \cdot - 7 + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [3^{5} {(y^{3})}^{5} + 5 {(3 y^{3})}^{4} \cdot - 7 + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$\frac{d}{d x} [243 {(y^{3})}^{5} + 5 {(3 y^{3})}^{4} \cdot - 7 + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{5}$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{3 \cdot 5} + 5 {(3 y^{3})}^{4} \cdot - 7 + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.3.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} + 5 {(3 y^{3})}^{4} \cdot - 7 + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $3 y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} + 5 (3^{4} {(y^{3})}^{4}) \cdot - 7 + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} + 5 (81 {(y^{3})}^{4}) \cdot - 7 + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.6

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{4}$ .

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Étape 2.2.1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} + 5 (81 y^{3 \cdot 4}) \cdot - 7 + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.6.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} + 5 (81 y^{12}) \cdot - 7 + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.7

Multipliez $81$ par $5$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} + 405 y^{12} \cdot - 7 + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.8

Multipliez $- 7$ par $405$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.9

Appliquez la règle de produit à $3 y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 10 (3^{3} {(y^{3})}^{3}) {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.10

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 10 (27 {(y^{3})}^{3}) {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.11

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{3}$ .

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Étape 2.2.1.11.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 10 (27 y^{3 \cdot 3}) {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.11.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 10 (27 y^{9}) {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.12

Multipliez $27$ par $10$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 270 y^{9} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.13

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 270 y^{9} \cdot 49 + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.14

Multipliez $49$ par $270$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.15

Appliquez la règle de produit à $3 y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} + 10 (3^{2} {(y^{3})}^{2}) {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.16

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} + 10 (9 {(y^{3})}^{2}) {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.17

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.17.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} + 10 (9 y^{3 \cdot 2}) {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.17.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} + 10 (9 y^{6}) {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.18

Multipliez $9$ par $10$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} + 90 y^{6} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.19

Élevez $- 7$ à la puissance $3$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} + 90 y^{6} \cdot - 343 + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.20

Multipliez $- 343$ par $90$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} - 30870 y^{6} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.21

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} - 30870 y^{6} + 15 y^{3} {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.22

Élevez $- 7$ à la puissance $4$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} - 30870 y^{6} + 15 y^{3} \cdot 2401 + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.23

Multipliez $2401$ par $15$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} - 30870 y^{6} + 36015 y^{3} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.1.24

Élevez $- 7$ à la puissance $5$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} - 30870 y^{6} + 36015 y^{3} - 16807 + 5 x^{3}]$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} - 30870 y^{6} + 36015 y^{3} - 16807 + 5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [243 y^{15}] + \frac{d}{d x} [- 2835 y^{12}] + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15}] + \frac{d}{d x} [- 2835 y^{12}] + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [243 y^{15}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $243$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $243 y^{15}$ par rapport à $x$ est $243 \frac{d}{d x} [y^{15}]$ .

$243 \frac{d}{d x} [y^{15}] + \frac{d}{d x} [- 2835 y^{12}] + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{15}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$243 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{15}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2835 y^{12}] + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 15$ .

$243 (15 {u_{1}}^{14} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2835 y^{12}] + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$243 (15 y^{14} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2835 y^{12}] + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$243 (15 y^{14} y') + \frac{d}{d x} [- 2835 y^{12}] + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.3.4

Multipliez $15$ par $243$ .

$3645 y^{14} y' + \frac{d}{d x} [- 2835 y^{12}] + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2835 y^{12}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 2835$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2835 y^{12}$ par rapport à $x$ est $- 2835 \frac{d}{d x} [y^{12}]$ .

$3645 y^{14} y' - 2835 \frac{d}{d x} [y^{12}] + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{12}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$3645 y^{14} y' - 2835 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{12}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 12$ .

$3645 y^{14} y' - 2835 (12 {u_{2}}^{11} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$3645 y^{14} y' - 2835 (12 y^{11} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.4.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3645 y^{14} y' - 2835 (12 y^{11} y') + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.4.4

Multipliez $12$ par $- 2835$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [13230 y^{9}]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $13230$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $13230 y^{9}$ par rapport à $x$ est $13230 \frac{d}{d x} [y^{9}]$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 13230 \frac{d}{d x} [y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{9}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.5.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $y$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 13230 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{9}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.5.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 13230 (9 {u_{3}}^{8} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.5.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $y$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 13230 (9 y^{8} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.5.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 13230 (9 y^{8} y') + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.5.4

Multipliez $9$ par $13230$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}]$ .

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Étape 2.6.1

Comme $- 30870$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 30870 y^{6}$ par rapport à $x$ est $- 30870 \frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 30870 \frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.6.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $y$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 30870 (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{6}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.6.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ est $n {u_{4}}^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 30870 (6 {u_{4}}^{5} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.6.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $y$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 30870 (6 y^{5} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.6.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 30870 (6 y^{5} y') + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.6.4

Multipliez $6$ par $- 30870$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [36015 y^{3}]$ .

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Étape 2.7.1

Comme $36015$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36015 y^{3}$ par rapport à $x$ est $36015 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 36015 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.7.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.7.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{5}$ comme $y$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 36015 (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.7.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ est $n {u_{5}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 36015 (3 {u_{5}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.7.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{5}$ par $y$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 36015 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.7.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 36015 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.7.4

Multipliez $3$ par $36015$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.8

Comme $- 16807$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16807$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' + 0 + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Étape 2.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Étape 2.9.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' + 0 + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' + 0 + 5 (3 x^{2})$

Étape 2.9.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' + 0 + 15 x^{2}$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Additionnez $3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y'$ et $0$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' + 15 x^{2}$

Étape 2.10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$15 x^{2} + 3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$15 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $15$ par $1$ .

$15$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$15 x^{2} + 3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' = 15$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $15 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' = 15 - 15 x^{2}$

Étape 5.2

Factorisez $45 y^{2} y'$ à partir de $3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $45 y^{2} y'$ à partir de $3645 y^{14} y'$ .

$45 y^{2} y' (81 y^{12}) - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' = 15 - 15 x^{2}$

Étape 5.2.2

Factorisez $45 y^{2} y'$ à partir de $- 34020 y^{11} y'$ .

$45 y^{2} y' (81 y^{12}) + 45 y^{2} y' (- 756 y^{9}) + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' = 15 - 15 x^{2}$

Étape 5.2.3

Factorisez $45 y^{2} y'$ à partir de $119070 y^{8} y'$ .

$45 y^{2} y' (81 y^{12}) + 45 y^{2} y' (- 756 y^{9}) + 45 y^{2} y' (2646 y^{6}) - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' = 15 - 15 x^{2}$

Étape 5.2.4

Factorisez $45 y^{2} y'$ à partir de $- 185220 y^{5} y'$ .

$45 y^{2} y' (81 y^{12}) + 45 y^{2} y' (- 756 y^{9}) + 45 y^{2} y' (2646 y^{6}) + 45 y^{2} y' (- 4116 y^{3}) + 108045 y^{2} y' = 15 - 15 x^{2}$

Étape 5.2.5

Factorisez $45 y^{2} y'$ à partir de $108045 y^{2} y'$ .

$45 y^{2} y' (81 y^{12}) + 45 y^{2} y' (- 756 y^{9}) + 45 y^{2} y' (2646 y^{6}) + 45 y^{2} y' (- 4116 y^{3}) + 45 y^{2} y' \cdot 2401 = 15 - 15 x^{2}$

Étape 5.2.6

Factorisez $45 y^{2} y'$ à partir de $45 y^{2} y' (81 y^{12}) + 45 y^{2} y' (- 756 y^{9})$ .

$45 y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9}) + 45 y^{2} y' (2646 y^{6}) + 45 y^{2} y' (- 4116 y^{3}) + 45 y^{2} y' \cdot 2401 = 15 - 15 x^{2}$

Étape 5.2.7

Factorisez $45 y^{2} y'$ à partir de $45 y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9}) + 45 y^{2} y' (2646 y^{6})$ .

$45 y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6}) + 45 y^{2} y' (- 4116 y^{3}) + 45 y^{2} y' \cdot 2401 = 15 - 15 x^{2}$

Étape 5.2.8

Factorisez $45 y^{2} y'$ à partir de $45 y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6}) + 45 y^{2} y' (- 4116 y^{3})$ .

$45 y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3}) + 45 y^{2} y' \cdot 2401 = 15 - 15 x^{2}$

Étape 5.2.9

Factorisez $45 y^{2} y'$ à partir de $45 y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3}) + 45 y^{2} y' \cdot 2401$ .

$45 y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401) = 15 - 15 x^{2}$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $45 y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401) = 15 - 15 x^{2}$ par $45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $45 y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401) = 15 - 15 x^{2}$ par $45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)$ .

$\frac{45 y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} = \frac{15}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} + \frac{- 15 x^{2}}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $45$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}{y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} = \frac{15}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} + \frac{- 15 x^{2}}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}{81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401} = \frac{15}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} + \frac{- 15 x^{2}}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{15}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} + \frac{- 15 x^{2}}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $15$ et $45$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $15$ à partir de $15$ .

$y' = \frac{15 (1)}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} + \frac{- 15 x^{2}}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Factorisez $15$ à partir de $45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)$ .

$y' = \frac{15 (1)}{15 (3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401))} + \frac{- 15 x^{2}}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{15 \cdot 1}{15 (3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401))} + \frac{- 15 x^{2}}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{1}{3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} + \frac{- 15 x^{2}}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 15$ et $45$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $15$ à partir de $- 15 x^{2}$ .

$y' = \frac{1}{3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} + \frac{15 (- x^{2})}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.2.1

Factorisez $15$ à partir de $45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)$ .

$y' = \frac{1}{3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} + \frac{15 (- x^{2})}{15 (3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401))}$

Étape 5.3.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{1}{3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} + \frac{15 (- x^{2})}{15 (3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401))}$

Étape 5.3.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{1}{3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} + \frac{- x^{2}}{3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Étape 5.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{1}{3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} - \frac{x^{2}}{3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} - \frac{x^{2}}{3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$