Calcul infinitésimal Exemples

$x^{5 y} = y^{6 x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{5 y}) = \frac{d}{d x} (y^{6 x})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = x$ et $g = 5 y$ .

$\frac{d}{d x} [x] (5 y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 (5 y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

Étape 2.2.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 (y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

Étape 2.2.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 y$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 y x^{5 y - 1} + 5 \frac{d}{d x} [y] (x^{5 y} \ln (x))$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 y x^{5 y - 1} + 5 y' (x^{5 y} \ln (x))$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 x^{5 y - 1} y + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$

Étape 2.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $5 x^{5 y - 1} y + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$ .

$5 y x^{5 y - 1} + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = y$ et $g = 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [y] (6 x y^{6 x - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x] (y^{6 x} \ln (y))$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x] (y^{6 x} \ln (y))$

Étape 3.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 \frac{d}{d x} [x] (y^{6 x} \ln (y))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 \cdot 1 (y^{6 x} \ln (y))$

Étape 3.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 (y^{6 x} \ln (y))$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 y^{6 x - 1} x y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

Étape 3.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $6 y^{6 x - 1} x y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$ .

$6 x y^{6 x - 1} y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$5 y x^{5 y - 1} + 5 x^{5 y} \ln (x) y' = 6 x y^{6 x - 1} y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$5 x^{5 y} \ln (x) y' - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$

Étape 5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $5 x^{5 y} \ln (x) y' - 6 y^{6 x} \ln (y)$ .

$5 y' x^{5 y} \ln (x) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$

Étape 5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$ .

$5 y' x^{5 y} \ln (x) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Étape 5.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1

Simplifiez $5 \ln (x)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Étape 5.4.1.2

Simplifiez $- 6 \ln (y)$ en déplaçant $6$ dans le logarithme.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) + y^{6 x} (- \ln (y^{6})) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Étape 5.4.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - y^{6 x} \ln (y^{6}) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Étape 5.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - y^{6 x} \ln (y^{6})$ .

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - \ln (y^{6}) y^{6 x} = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Étape 5.6

Soustrayez $6 x y' y^{6 x - 1}$ des deux côtés de l’équation.

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - \ln (y^{6}) y^{6 x} - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1}$

Étape 5.7

Ajoutez $\ln (y^{6}) y^{6 x}$ aux deux côtés de l’équation.

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

Étape 5.8

Factorisez $y'$ à partir de $y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y' y^{6 x - 1}$ .

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Étape 5.8.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' \ln (x^{5}) x^{5 y}$ .

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

Étape 5.8.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 6 x y' y^{6 x - 1}$ .

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) + y' (- 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

Étape 5.8.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) + y' (- 6 x y^{6 x - 1})$ .

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

Étape 5.9

Divisez chaque terme dans $y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$ par $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ et simplifiez.

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Étape 5.9.1

Divisez chaque terme dans $y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$ par $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ .

$\frac{y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} = \frac{- 5 y x^{5 y - 1}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} + \frac{\ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Étape 5.9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.9.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ .

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Étape 5.9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.9.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 5 y x^{5 y - 1}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} + \frac{\ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Étape 5.9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.9.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Étape 5.9.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 y x^{5 y - 1}$ .

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1}) + \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Étape 5.9.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (y^{6}) y^{6 x}$ .

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1}) - (- \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Étape 5.9.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 y x^{5 y - 1}) - (- \ln (y^{6}) y^{6 x})$ .

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Étape 5.9.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.9.3.5.1

Réécrivez $- (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})$ comme $- 1 (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})$ .

$y' = \frac{- 1 (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Étape 5.9.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$