Calcul infinitésimal Exemples

$x^{5} + y^{3} = \frac{1}{y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{5} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{y})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 x^{4} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$5 x^{4} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 x^{4} + 3 y^{2} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 3.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{y \cdot 0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 3.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $y$ par $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 3.2.3.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [y]$ de $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 3.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \frac{y'}{y^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$5 x^{4} + 3 y^{2} y' = - \frac{y'}{y^{2}}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$(5 x^{4} + 3 y^{2} y') y^{2} = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $(5 x^{4} + 3 y^{2} y') y^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y^{2} y' y^{2} = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.1.2.1

Déplacez $y^{2}$ .

$5 x^{4} y^{2} + 3 (y^{2} y^{2}) y' = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Étape 5.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y^{2 + 2} y' = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Étape 5.2.1.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$5 x^{4} y^{2} + 3 y^{4} y' = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Étape 5.2.1.1.3

Déplacez $y^{4}$ .

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y'}{y^{2}}$ dans le numérateur.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} = \frac{- y'}{y^{2}} y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} = \frac{- y'}{y^{2}} y^{2}$

Étape 5.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} = - y'$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Ajoutez $y'$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} + y' = 0$

Étape 5.3.2

Soustrayez $5 x^{4} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y' y^{4} + y' = - 5 x^{4} y^{2}$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $3 y' y^{4} + y'$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $3 y' y^{4}$ .

$y' (3 y^{4}) + y' = - 5 x^{4} y^{2}$

Étape 5.3.3.2

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$y' (3 y^{4}) + y' = - 5 x^{4} y^{2}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' (3 y^{4}) + y' \cdot 1 = - 5 x^{4} y^{2}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 y^{4}) + y' \cdot 1$ .

$y' (3 y^{4} + 1) = - 5 x^{4} y^{2}$

Étape 5.3.4

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{4} + 1) = - 5 x^{4} y^{2}$ par $3 y^{4} + 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{4} + 1) = - 5 x^{4} y^{2}$ par $3 y^{4} + 1$ .

$\frac{y' (3 y^{4} + 1)}{3 y^{4} + 1} = \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 y^{4} + 1$ .

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Étape 5.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 y^{4} + 1)}{3 y^{4} + 1} = \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

Étape 5.3.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

Étape 5.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$