Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{3}}{4} - 3 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{4} - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Étape 1.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Étape 1.1.2.4

Associez $\frac{3}{4}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3 \frac{d}{d x} x$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 x^{2}}{4} - 3$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 x^{2}}{4} - 3 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{3 x^{2}}{4} = 3$

Étape 2.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Étape 2.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1.1

Simplifiez $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{4}$ .

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Étape 2.4.1.1.1

Associez.

$\frac{4 (3 x^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Étape 2.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (3 x^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Étape 2.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Étape 2.4.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Étape 2.4.1.1.3.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Étape 2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = 4$

Étape 2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 2.6

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 2.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 2.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 2.7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 2.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $2, - 2$ .

$2, - 2$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = \frac{3 {(- 3)}^{2}}{4} - 3$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3) = \frac{3 \cdot 9}{4} - 3$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} - 3$

Étape 5.2.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 5.2.3

Associez $- 3$ et $\frac{4}{4}$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Étape 5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 3) = \frac{27 - 3 \cdot 4}{4}$

Étape 5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$f' (- 3) = \frac{27 - 12}{4}$

Étape 5.2.5.2

Soustrayez $12$ de $27$ .

$f' (- 3) = \frac{15}{4}$

Étape 5.2.6

La réponse finale est $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

Étape 5.3

Sur $x = - 3$ la dérivée est $\frac{15}{4}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{4} - 3$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = \frac{3 \cdot 0}{4} - 3$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f' (0) = \frac{0}{4} - 3$

Étape 6.2.1.3

Divisez $0$ par $4$ .

$f' (0) = 0 - 3$

Étape 6.2.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$f' (0) = - 3$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 6.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $- 3$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 2, 2)$ .

Diminue sur $(- 2, 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = \frac{3 {(3)}^{2}}{4} - 3$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ .

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Étape 7.2.1.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f' (3) = \frac{3 {(3)}^{2}}{4} - 3$

Étape 7.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (3) = \frac{3^{1 + 2}}{4} - 3$

Étape 7.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (3) = \frac{3^{3}}{4} - 3$

Étape 7.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} - 3$

Étape 7.2.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 7.2.3

Associez $- 3$ et $\frac{4}{4}$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Étape 7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (3) = \frac{27 - 3 \cdot 4}{4}$

Étape 7.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$f' (3) = \frac{27 - 12}{4}$

Étape 7.2.5.2

Soustrayez $12$ de $27$ .

$f' (3) = \frac{15}{4}$

Étape 7.2.6

La réponse finale est $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

Étape 7.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $\frac{15}{4}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(2, \infty)$ .

Augmente sur $(2, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Diminue sur : $(- 2, 2)$

Étape 9