Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 16$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 16) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.6.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 16$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}$ .

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Étape 1.1.6.3.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 32 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.2.2

Additionnez $- 32 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{- 32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.6.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.6.5.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.6.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Étape 1.1.6.5.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$32 x = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $32 x = 0$ par $32$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $32 x = 0$ par $32$ .

$\frac{32 x}{32} = \frac{0}{32}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $32$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{32 x}{32} = \frac{0}{32}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{32}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $32$ .

$x = 0$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.2.2

Définissez ${(x + 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Définissez ${(x + 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 3.2.2.2

Résolvez ${(x + 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Définissez le $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 3.2.2.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 3.2.3

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.3.1

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.2.3.2

Résolvez ${(x - 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 3.2.3.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 3.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 4, 4$

Étape 3.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Étape 4

Évaluez $\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 16}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0^{2} - 16}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 - 16}$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$\frac{0}{- 16}$

Étape 4.1.2.3

Divisez $0$ par $- 16$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 4$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 4$ .

$\frac{{(- 4)}^{2}}{{(- 4)}^{2} - 16}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(- 4)}^{2}}{16 - 16}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$\frac{{(- 4)}^{2}}{0}$

Étape 4.2.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$\frac{{(4)}^{2}}{{(4)}^{2} - 16}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(4)}^{2}}{16 - 16}$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$\frac{{(4)}^{2}}{0}$

Étape 4.3.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 0)$

Étape 5