Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} y^{2} - 5 x^{2} y + x = 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y^{2} - 5 x^{2} y + x) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} y^{2} - 5 x^{2} y + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.6

Déplacez $3$ à gauche de $y^{2}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2} y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 5 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 5 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 5 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 5 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 5 (x^{2} y' + 2 y x) + 1$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 5 (x^{2} y') - 5 (2 y x) + 1$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 5 x^{2} y' - 10 y x + 1$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 5 x^{2} y' - 10 x y + 1$

Étape 3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 5 x^{2} y' - 10 x y + 1 = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $3 x^{2} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} y y' - 5 x^{2} y' - 10 x y + 1 = - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 5.1.2

Ajoutez $10 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} y y' - 5 x^{2} y' + 1 = - 3 x^{2} y^{2} + 10 x y$

Étape 5.1.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} y y' - 5 x^{2} y' = - 3 x^{2} y^{2} + 10 x y - 1$

Étape 5.2

Factorisez $x^{2} y'$ à partir de $2 x^{3} y y' - 5 x^{2} y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x^{2} y'$ à partir de $2 x^{3} y y'$ .

$x^{2} y' (2 x y) - 5 x^{2} y' = - 3 x^{2} y^{2} + 10 x y - 1$

Étape 5.2.2

Factorisez $x^{2} y'$ à partir de $- 5 x^{2} y'$ .

$x^{2} y' (2 x y) + x^{2} y' \cdot - 5 = - 3 x^{2} y^{2} + 10 x y - 1$

Étape 5.2.3

Factorisez $x^{2} y'$ à partir de $x^{2} y' (2 x y) + x^{2} y' \cdot - 5$ .

$x^{2} y' (2 x y - 5) = - 3 x^{2} y^{2} + 10 x y - 1$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $x^{2} y' (2 x y - 5) = - 3 x^{2} y^{2} + 10 x y - 1$ par $x^{2} (2 x y - 5)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y' (2 x y - 5) = - 3 x^{2} y^{2} + 10 x y - 1$ par $x^{2} (2 x y - 5)$ .

$\frac{x^{2} y' (2 x y - 5)}{x^{2} (2 x y - 5)} = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x^{2} (2 x y - 5)} + \frac{10 x y}{x^{2} (2 x y - 5)} + \frac{- 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y' (2 x y - 5)}{x^{2} (2 x y - 5)} = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x^{2} (2 x y - 5)} + \frac{10 x y}{x^{2} (2 x y - 5)} + \frac{- 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (2 x y - 5)}{2 x y - 5} = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x^{2} (2 x y - 5)} + \frac{10 x y}{x^{2} (2 x y - 5)} + \frac{- 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2 x y - 5$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 x y - 5)}{2 x y - 5} = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x^{2} (2 x y - 5)} + \frac{10 x y}{x^{2} (2 x y - 5)} + \frac{- 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x^{2} (2 x y - 5)} + \frac{10 x y}{x^{2} (2 x y - 5)} + \frac{- 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x^{2} (2 x y - 5)} + \frac{10 x y}{x^{2} (2 x y - 5)} + \frac{- 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 3 y^{2}}{2 x y - 5} + \frac{10 x y}{x^{2} (2 x y - 5)} + \frac{- 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x y - 5} + \frac{10 x y}{x^{2} (2 x y - 5)} + \frac{- 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $10 x y$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x y - 5} + \frac{x (10 y)}{x^{2} (2 x y - 5)} + \frac{- 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (2 x y - 5)$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x y - 5} + \frac{x (10 y)}{x (x (2 x y - 5))} + \frac{- 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x y - 5} + \frac{x (10 y)}{x (x (2 x y - 5))} + \frac{- 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x y - 5} + \frac{10 y}{x (2 x y - 5)} + \frac{- 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x y - 5} + \frac{10 y}{x (2 x y - 5)} - \frac{1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $- \frac{3 y^{2}}{2 x y - 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x y - 5} \cdot \frac{x}{x} + \frac{10 y}{x (2 x y - 5)} - \frac{1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 x y - 5) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{3 y^{2}}{2 x y - 5}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{(2 x y - 5) x} + \frac{10 y}{x (2 x y - 5)} - \frac{1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(2 x y - 5) x$ .

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{x (2 x y - 5)} + \frac{10 y}{x (2 x y - 5)} - \frac{1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 3 y^{2} x + 10 y}{x (2 x y - 5)} - \frac{1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $y$ à partir de $- 3 y^{2} x + 10 y$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- 3 y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x) + 10 y}{x (2 x y - 5)} - \frac{1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.5.2

Factorisez $y$ à partir de $10 y$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x) + y \cdot 10}{x (2 x y - 5)} - \frac{1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.5.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- 3 y x) + y \cdot 10$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x + 10)}{x (2 x y - 5)} - \frac{1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.6

Pour écrire $\frac{y (- 3 y x + 10)}{x (2 x y - 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x + 10)}{x (2 x y - 5)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 x y - 5) x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.7.1

Multipliez $\frac{y (- 3 y x + 10)}{x (2 x y - 5)}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x + 10) x}{x (2 x y - 5) x} - \frac{1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.7.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x + 10) x}{x^{1} x (2 x y - 5)} - \frac{1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.7.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x + 10) x}{x^{1} x^{1} (2 x y - 5)} - \frac{1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{y (- 3 y x + 10) x}{x^{1 + 1} (2 x y - 5)} - \frac{1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x + 10) x}{x^{2} (2 x y - 5)} - \frac{1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y (- 3 y x + 10) x - 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{(y (- 3 y x) + y \cdot 10) x - 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.9.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{(- 3 y (y x) + y \cdot 10) x - 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.9.3

Déplacez $10$ à gauche de $y$ .

$y' = \frac{(- 3 y (y x) + 10 \cdot y) x - 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.9.4

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.3.9.4.1

Déplacez $y$ .

$y' = \frac{(- 3 (y \cdot y) x + 10 \cdot y) x - 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.9.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y' = \frac{(- 3 y^{2} x + 10 \cdot y) x - 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

$y' = \frac{(- 3 y^{2} x + 10 y) x - 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.9.5

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{- 3 y^{2} x \cdot x + 10 y x - 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.9.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.3.9.6.1

Déplacez $x$ .

$y' = \frac{- 3 y^{2} (x \cdot x) + 10 y x - 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.9.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y' = \frac{- 3 y^{2} x^{2} + 10 y x - 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.10

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.3.3.10.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y^{2} x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 y^{2} x^{2}) + 10 y x - 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.10.2

Factorisez $- 1$ à partir de $10 y x$ .

$y' = \frac{- (3 y^{2} x^{2}) - (- 10 y x) - 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.10.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 y^{2} x^{2}) - (- 10 y x)$ .

$y' = \frac{- (3 y^{2} x^{2} - 10 y x) - 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.10.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (3 y^{2} x^{2} - 10 y x) - 1 (1)}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.10.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 y^{2} x^{2} - 10 y x) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (3 y^{2} x^{2} - 10 y x + 1)}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.10.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.10.6.1

Réécrivez $- (3 y^{2} x^{2} - 10 y x + 1)$ comme $- 1 (3 y^{2} x^{2} - 10 y x + 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 y^{2} x^{2} - 10 y x + 1)}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 5.3.3.10.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 y^{2} x^{2} - 10 y x + 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 y^{2} x^{2} - 10 y x + 1}{x^{2} (2 x y - 5)}$