Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} y^{2} = \cos (π y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y^{2}) = \frac{d}{d x} (\cos (π y))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x^{3} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})$

Étape 2.6

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.6.1

Déplacez $3$ à gauche de $y^{2}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 \cdot y^{2} x^{2}$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = π y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $π y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π y]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [π y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π y$ .

$- \sin (π y) \frac{d}{d x} [π y]$

Étape 3.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π y$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (π y) (π \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \sin (π y) (π y')$

Étape 3.4

Réorganisez les facteurs de $- \sin (π y) (π y')$ .

$- π \sin (π y) y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} = - π \sin (π y) y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- π \sin (π y) y'$ .

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} = - π y' \sin (π y)$

Étape 5.2

Ajoutez $π y' \sin (π y)$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} + π y' \sin (π y) = 0$

Étape 5.3

Soustrayez $3 x^{2} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} y y' + π y' \sin (π y) = - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $2 x^{3} y y' + π y' \sin (π y)$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $2 x^{3} y y'$ .

$y' (2 x^{3} y) + π y' \sin (π y) = - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $π y' \sin (π y)$ .

$y' (2 x^{3} y) + y' (π \sin (π y)) = - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 x^{3} y) + y' (π \sin (π y))$ .

$y' (2 x^{3} y + π \sin (π y)) = - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (2 x^{3} y + π \sin (π y)) = - 3 x^{2} y^{2}$ par $2 x^{3} y + π \sin (π y)$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 x^{3} y + π \sin (π y)) = - 3 x^{2} y^{2}$ par $2 x^{3} y + π \sin (π y)$ .

$\frac{y' (2 x^{3} y + π \sin (π y))}{2 x^{3} y + π \sin (π y)} = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y + π \sin (π y)}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2 x^{3} y + π \sin (π y)$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 x^{3} y + π \sin (π y))}{2 x^{3} y + π \sin (π y)} = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y + π \sin (π y)}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y + π \sin (π y)}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y + π \sin (π y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y + π \sin (π y)}$