Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 2 y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2 y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = y$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{x y' - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x y' - y \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

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Étape 2.3.1

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}}$

Étape 2.3.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Associez des termes.

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Étape 2.4.1.1

Pour écrire $\frac{x y' - y}{x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.1.2

Pour écrire $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Étape 2.4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x^{2} y^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1.3.1

Multipliez $\frac{x y' - y}{x^{2}}$ par $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Étape 2.4.1.3.2

Multipliez $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{(y - x y') x^{2}}{y^{2} x^{2}}$

Étape 2.4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $y^{2} x^{2}$ .

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{(y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Étape 2.4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x y' - y) y^{2} + (y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} = 2 y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2})$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} y^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} (x y') + y^{2} (- y) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y^{2} x y' - y^{2} y + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.2.3

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.1.2.3.1

Déplacez $y$ .

$y^{2} x y' - (y \cdot y^{2}) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.2.3.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.2.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y^{2} x y' - (y^{1} y^{2}) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{2} x y' - y^{1 + 2} + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.2.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y + x^{2} (- x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{2} (x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.2.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.1.2.6.1

Déplacez $x$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - (x \cdot x^{2}) y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.2.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - (x^{1} x^{2}) y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{1 + 2} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.2.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.1.3.1

Déplacez $y^{2}$ .

$x y' y^{2} - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.3.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $y'$ .

$y' x y^{2} - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.3.3

Déplacez $x^{3}$ .

$y' x y^{2} - y^{3} + x^{2} y - y' x^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.3.4

Déplacez $- y^{3}$ .

$y' x y^{2} + x^{2} y - y' x^{3} - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.3.5

Déplacez $x^{2} y$ .

$y' x y^{2} - y' x^{3} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.3.6

Remettez dans l’ordre $y' x y^{2}$ et $- y' x^{3}$ .

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' x^{2} y^{2}$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $2 y' x^{2} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} - 2 y' x^{2} y^{2} = 0$

Étape 5.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} - y^{3} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y$

Étape 5.3.2.2

Ajoutez $y^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

Étape 5.3.3

Factorisez $y' x$ à partir de $- y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2}$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $y' x$ à partir de $- y' x^{3}$ .

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x y^{2}$ .

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $y' x$ à partir de $- 2 y' x^{2} y^{2}$ .

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} + y' x (- 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2}$ .

$y' x (- 1 x^{2} + y^{2}) + y' x (- 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x (- 1 x^{2} + y^{2}) + y' x (- 2 x y^{2})$ .

$y' x (- 1 x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Étape 5.3.5

Divisez chaque terme dans $y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$ par $x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})$ et simplifiez.

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Étape 5.3.5.1

Divisez chaque terme dans $y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$ par $x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})$ .

$\frac{y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.2.2

Annulez le facteur commun de $- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}$ .

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Étape 5.3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.3.5.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} y$ .

$y' = \frac{x (- x y)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.5.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x (- x y)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.3.2

Pour écrire $- \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.5.3.3.1

Multipliez $\frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{x y x}{(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x$ .

$y' = - \frac{x y x}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- x y x + y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.5.3.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- x y x + y^{3}$ .

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Étape 5.3.5.3.5.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- x y x$ .

$y' = \frac{y (- x \cdot x) + y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.3.5.1.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{3}$ .

$y' = \frac{y (- x \cdot x) + y \cdot y^{2}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.3.5.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- x \cdot x) + y \cdot y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- x \cdot x + y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.3.5.2

Réécrivez $x \cdot x$ comme $x^{2}$ .

$y' = \frac{y (- x^{2} + y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.3.5.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y^{2} - x^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.3.5.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = x$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.3.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.3.5.3.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2}) + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.3.6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2}) - 1 (- y^{2}) - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.3.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2}) - 2 x y^{2})}$

Étape 5.3.5.3.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2}) - (2 x y^{2}))}$

Étape 5.3.5.3.6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - y^{2}) - (2 x y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2}))}$

Étape 5.3.5.3.6.6

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.3.5.3.6.6.1

Réécrivez $- (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})$ comme $- 1 (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- 1 (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2}))}$

Étape 5.3.5.3.6.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y (y + x) (y - x)}{x (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + x) (y - x)}{x (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})}$