Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x y - y^{2}}{y - x} = 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\frac{x y - y^{2}}{y - x}) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x y - y^{2}$ et $g (x) = y - x$ .

$\frac{(y - x) \frac{d}{d x} [x y - y^{2}] - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y - y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{(y - x) (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$\frac{(y - x) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.5.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.5.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - \frac{d}{d x} [y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - (2 u \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - (2 y \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 (y \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.8

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.10

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - \frac{d}{d x} [x])}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - 1 \cdot 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.13

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14

Simplifiez

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Étape 2.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.14.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.14.2.1.1

Développez $(y - x) (x y' + y - 2 y y')$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{y (x y') + y \cdot y + y (- 2 y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.14.2.1.2.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} + y (- 2 y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y (y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.1.2.3

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.14.2.1.2.3.1

Déplacez $y$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 (y \cdot y) y' - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.1.2.3.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.1.2.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.14.2.1.2.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - (x \cdot x) y' - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.1.2.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.1.2.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 2 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.1.3

Additionnez $y (x y')$ et $2 x y y'$ .

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Étape 2.14.2.1.3.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + x y y' + 2 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.1.3.2

Additionnez $x y y'$ et $2 x y y'$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.1.4

Multipliez $- - y^{2}$ .

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Étape 2.14.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- x y + 1 y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.1.4.2

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- x y + y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.1.5

Développez $(- x y + y^{2}) (y' - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.14.2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y (y' - 1) + y^{2} (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' - x y \cdot - 1 + y^{2} (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' - x y \cdot - 1 + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.14.2.1.6.1

Multipliez $- x y \cdot - 1$ .

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Étape 2.14.2.1.6.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + 1 x y + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.1.6.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.1.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - 1 \cdot y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.1.6.3

Réécrivez $- 1 y^{2}$ comme $- y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.2

Associez les termes opposés dans $y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - y^{2}$ .

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Étape 2.14.2.2.1

Additionnez $- x y$ et $x y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + 0 + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.2.2

Additionnez $y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y'$ et $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.2.3

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y' + 0}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.2.4

Additionnez $- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y'$ et $0$ .

$\frac{- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y'}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.3

Additionnez $- 2 y^{2} y'$ et $y^{2} y'$ .

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y'}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.2.4

Soustrayez $x y y'$ de $3 x y y'$ .

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 2.14.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.14.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'$ .

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Étape 2.14.4.1.1

Factorisez $y'$ à partir de $- y^{2} y'$ .

$\frac{y' (- y^{2}) - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.1.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x^{2} y'$ .

$\frac{y' (- y^{2}) + y' (- x^{2}) + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.1.3

Factorisez $y'$ à partir de $2 x y y'$ .

$\frac{y' (- y^{2}) + y' (- x^{2}) + y' (2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.1.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- y^{2}) + y' (- x^{2})$ .

$\frac{y' (- y^{2} - x^{2}) + y' (2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.1.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- y^{2} - x^{2}) + y' (2 x y)$ .

$\frac{y' (- y^{2} - x^{2} + 2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.14.4.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 2.14.4.2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y' (- x^{2} - y^{2} + 2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.2.1.2

Remettez dans l’ordre $- y^{2}$ et $2 x y$ .

$\frac{y' (- x^{2} + 2 x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{y' (- x^{2} + 2 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.2.1.4

Réécrivez $2$ comme $1$ plus $1$

$\frac{y' (- x^{2} + (1 + 1) (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y' (- x^{2} + 1 (x y) + 1 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.2.1.6

Multipliez $x y$ par $1$ .

$\frac{y' (- x^{2} + x y + 1 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.2.1.7

Multipliez $x y$ par $1$ .

$\frac{y' (- x^{2} + x y + x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.14.4.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{y' ((- x^{2} + x y) + x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{y' (x (- x + y) - y (- x + y))}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + y$ .

$\frac{y' ((- x + y) (x - y))}{{(- x + y)}^{2}}$

$\frac{y' (- x + y) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.3

Associez les exposants.

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Étape 2.14.4.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{y' (- (x) + y) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$\frac{y' (- (x) - 1 (- y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- y)$ .

$\frac{y' (- (x - y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.3.4

Réécrivez $- (x - y)$ comme $- 1 (x - y)$ .

$\frac{y' (- 1 (x - y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.3.5

Élevez $x - y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y' \cdot - 1 ({(x - y)}^{1} (x - y))}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.3.6

Élevez $x - y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y' \cdot - 1 ({(x - y)}^{1} {(x - y)}^{1})}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y' \cdot - 1 {(x - y)}^{1 + 1}}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y' \cdot - 1 {(x - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.4.4

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- y' {(x - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.5

Annulez le facteur commun à ${(x - y)}^{2}$ et ${(- x + y)}^{2}$ .

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Étape 2.14.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{- y' {(- 1 (- x) - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{- y' {(- 1 (- x) - (y))}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - (y)$ .

$\frac{- y' {(- 1 (- x + y))}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.5.4

Appliquez la règle de produit à $- 1 (- x + y)$ .

$\frac{- y' ({(- 1)}^{2} {(- x + y)}^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.5.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{- y' (1 {(- x + y)}^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.5.6

Multipliez ${(- x + y)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{- y' {(- x + y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.5.7

Annulez le facteur commun.

$\frac{- y' {(- x + y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 2.14.5.8

Divisez $- y'$ par $1$ .

$- y'$

Étape 3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- y' = 0$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- y' = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- y' = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- y'}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y'}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 5.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{0}{- 1}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$y' = 0$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 0$