Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} = \frac{x^{2} - 49}{x^{2} + 49}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} - 49}{x^{2} + 49})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 49$ et $g (x) = x^{2} + 49$ .

$\frac{(x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x^{2} - 49] - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 49$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]) - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x + \frac{d}{d x} [- 49]) - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Comme $- 49$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 49$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x + 0) - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x) - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 3.2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 49$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 49) x - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 3.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 49$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 49) x - (x^{2} - 49) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 49) x - (x^{2} - 49) (2 x + \frac{d}{d x} [49])}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 3.2.7

Comme $49$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $49$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 49) x - (x^{2} - 49) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 3.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 49) x - (x^{2} - 49) (2 x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 3.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 49) x - 2 (x^{2} - 49) x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 49) x - 2 (x^{2} - 49) x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 49 x - 2 (x^{2} - 49) x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 49 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 49) x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 49 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 49 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 3.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.5.1

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} x + 2 \cdot 49 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 49 x$ .

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Étape 3.3.5.1.1

Soustrayez $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 \cdot 49 x + 0 - 2 \cdot - 49 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 3.3.5.1.2

Additionnez $2 \cdot 49 x$ et $0$ .

$\frac{2 \cdot 49 x - 2 \cdot - 49 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 3.3.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.5.2.1

Multipliez $2$ par $49$ .

$\frac{98 x - 2 \cdot - 49 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 3.3.5.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 49$ .

$\frac{98 x + 98 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 3.3.5.3

Additionnez $98 x$ et $98 x$ .

$\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' = \frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $2 y y' = \frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$ par $2 y$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' = \frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$ par $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}}{2 y}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}}{2 y}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}}{2 y}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}}{2 y}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}}{2 y}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = \frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Étape 5.3.2

Associez.

$y' = \frac{196 x \cdot 1}{{(x^{2} + 49)}^{2} (2 y)}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun à $196$ et $2$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $196 x \cdot 1$ .

$y' = \frac{2 (98 x \cdot 1)}{{(x^{2} + 49)}^{2} (2 y)}$

Étape 5.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de ${(x^{2} + 49)}^{2} (2 y)$ .

$y' = \frac{2 (98 x \cdot 1)}{2 ({(x^{2} + 49)}^{2} (y))}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (98 x \cdot 1)}{2 ({(x^{2} + 49)}^{2} (y))}$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{98 x \cdot 1}{{(x^{2} + 49)}^{2} (y)}$

Étape 5.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.4.1

Multipliez $98$ par $1$ .

$y' = \frac{98 x}{{(x^{2} + 49)}^{2} y}$

Étape 5.3.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{98 x}{{(x^{2} + 49)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{98 x}{y {(x^{2} + 49)}^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{98 x}{y {(x^{2} + 49)}^{2}}$