Calcul infinitésimal Exemples

$2 {(x^{2} + 1)}^{4} + {(y^{2} + 3)}^{2} = 24$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + 1)}^{4} + {(y^{2} + 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (24)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(y^{2} + 3)}^{2}$ comme $(y^{2} + 3) (y^{2} + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + (y^{2} + 3) (y^{2} + 3)]$

Étape 2.2

Développez $(y^{2} + 3) (y^{2} + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{2} (y^{2} + 3) + 3 (y^{2} + 3)]$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 3 + 3 (y^{2} + 3)]$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 3 + 3 y^{2} + 3 \cdot 3]$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{2 + 2} + y^{2} \cdot 3 + 3 y^{2} + 3 \cdot 3]$

Étape 2.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{4} + y^{2} \cdot 3 + 3 y^{2} + 3 \cdot 3]$

Étape 2.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{4} + 3 \cdot y^{2} + 3 y^{2} + 3 \cdot 3]$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{4} + 3 y^{2} + 3 y^{2} + 9]$

Étape 2.3.2

Additionnez $3 y^{2}$ et $3 y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{4} + 6 y^{2} + 9]$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{4} + 6 y^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4}]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 {(x^{2} + 1)}^{4}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 2.5.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.5.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.5.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} + 1$ .

$2 (4 {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.5.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (4 {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (4 {(x^{2} + 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.5.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (4 {(x^{2} + 1)}^{3} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.5.6

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 (4 {(x^{2} + 1)}^{3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.5.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$2 (8 {(x^{2} + 1)}^{3} x) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.5.8

Multipliez $8$ par $2$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

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Étape 2.6.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.6.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.6.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.6.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.6.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ .

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Étape 2.7.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 y^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 6 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.7.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.7.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $y$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 6 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.7.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 6 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.7.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $y$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 6 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.7.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 6 (2 y y') + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.7.4

Multipliez $2$ par $6$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 12 y y' + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.8

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 12 y y' + 0$

Étape 2.9

Simplifiez

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Étape 2.9.1

Additionnez $16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 12 y y'$ et $0$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 12 y y'$

Étape 2.9.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$16 x {(x^{2} + 1)}^{3} + 4 y^{3} y' + 12 y y'$

Étape 3

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$16 x {(x^{2} + 1)}^{3} + 4 y^{3} y' + 12 y y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$4 y^{3} y' + 12 y y' = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$

Étape 5.2

Factorisez $4 y y'$ à partir de $4 y^{3} y' + 12 y y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $4 y y'$ à partir de $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' y^{2} + 12 y y' = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$

Étape 5.2.2

Factorisez $4 y y'$ à partir de $12 y y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot 3 = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$

Étape 5.2.3

Factorisez $4 y y'$ à partir de $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot 3$ .

$4 y y' (y^{2} + 3) = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $4 y y' (y^{2} + 3) = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$ par $4 y (y^{2} + 3)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $4 y y' (y^{2} + 3) = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$ par $4 y (y^{2} + 3)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} + 3)}{4 y (y^{2} + 3)} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y y' (y^{2} + 3)}{4 y (y^{2} + 3)} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (y^{2} + 3)}{y (y^{2} + 3)} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (y^{2} + 3)}{y (y^{2} + 3)} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y^{2} + 3)}{y^{2} + 3} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $y^{2} + 3$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y^{2} + 3)}{y^{2} + 3} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $4$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$y' = \frac{4 (- 4 x {(x^{2} + 1)}^{3})}{4 y (y^{2} + 3)}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y (y^{2} + 3)$ .

$y' = \frac{4 (- 4 x {(x^{2} + 1)}^{3})}{4 (y (y^{2} + 3))}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{4 (- 4 x {(x^{2} + 1)}^{3})}{4 (y (y^{2} + 3))}$

Étape 5.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 4 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{y (y^{2} + 3)}$

Étape 5.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{4 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{y (y^{2} + 3)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{y (y^{2} + 3)}$