Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sqrt{2 + 9 \sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{\sqrt{2 + 9 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 + 9 x^{\frac{1}{3}}}$ comme ${(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Étape 1.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\int \frac{{(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Étape 1.4

Retirez $x^{\frac{2}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Étape 1.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Étape 1.5.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 1.5.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Étape 1.5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Étape 1.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ . Alors $d u = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$ , donc $- d u = \frac{- 3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$0 + 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 2.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 2.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 2.1.3.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 2.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 2.1.3.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$0 + 9 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 2.1.3.9

Associez $9$ et $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$0 + \frac{9 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 2.1.3.10

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{9}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.3.11

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.3.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.12.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Étape 2.1.3.12.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.3.12.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.4

Additionnez $0$ et $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 5.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{9} {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} + C$