Calcul infinitésimal Exemples

$y^{3} e^{x} + x = y^{6} x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{3} e^{x} + x) = \frac{d}{d x} (y^{6} x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} e^{x} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3} e^{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y^{3}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$y^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$y^{3} e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$y^{3} e^{x} + e^{x} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$y^{3} e^{x} + e^{x} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y^{3} e^{x} + e^{x} (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.5

Déplacez $3$ à gauche de $e^{x}$ .

$y^{3} e^{x} + 3 e^{x} y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y^{3} e^{x} + 3 e^{x} y^{2} y' + 1$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} y^{3} + 3 e^{x} y^{2} y' + 1$

Étape 2.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} y^{3} + 3 e^{x} y^{2} y' + 1$ .

$y^{3} e^{x} + 3 y^{2} e^{x} y' + 1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y^{6}$ et $g (x) = x$ .

$y^{6} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y^{6} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Étape 3.2.2

Multipliez $y^{6}$ par $1$ .

$y^{6} + x \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$y^{6} + x (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$y^{6} + x (6 u^{5} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$y^{6} + x (6 y^{5} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$y^{6} + 6 \cdot x y^{5} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y^{6} + 6 x y^{5} y'$

Étape 3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{6} + 6 y^{5} x y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y^{3} e^{x} + 3 y^{2} e^{x} y' + 1 = y^{6} + 6 y^{5} x y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $y^{3} e^{x} + 3 y^{2} e^{x} y' + 1$ .

$y^{3} e^{x} + 3 y^{2} y' e^{x} + 1 = y^{6} + 6 y^{5} x y'$

Étape 5.2

Soustrayez $6 y^{5} x y'$ des deux côtés de l’équation.

$y^{3} e^{x} + 3 y^{2} y' e^{x} + 1 - 6 y^{5} x y' = y^{6}$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $y^{3} e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' e^{x} + 1 - 6 y^{5} x y' = y^{6} - y^{3} e^{x}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' e^{x} - 6 y^{5} x y' = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$

Étape 5.4

Factorisez $3 y^{2} y'$ à partir de $3 y^{2} y' e^{x} - 6 y^{5} x y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $3 y^{2} y'$ à partir de $3 y^{2} y' e^{x}$ .

$3 y^{2} y' e^{x} - 6 y^{5} x y' = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$

Étape 5.4.2

Factorisez $3 y^{2} y'$ à partir de $- 6 y^{5} x y'$ .

$3 y^{2} y' e^{x} + 3 y^{2} y' (- 2 y^{3} x) = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$

Étape 5.4.3

Factorisez $3 y^{2} y'$ à partir de $3 y^{2} y' e^{x} + 3 y^{2} y' (- 2 y^{3} x)$ .

$3 y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x) = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x) = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$ par $3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x) = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$ par $3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)$ .

$\frac{3 y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x)}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x)}{y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (e^{x} - 2 y^{3} x)}{e^{x} - 2 y^{3} x} = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Étape 5.5.2.3

Annulez le facteur commun de $e^{x} - 2 y^{3} x$ .

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Étape 5.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (e^{x} - 2 y^{3} x)}{e^{x} - 2 y^{3} x} = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Étape 5.5.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $y^{6}$ et $y^{2}$ .

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Étape 5.5.3.1.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{6}$ .

$y' = \frac{y^{2} y^{4}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Étape 5.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.1.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)$ .

$y' = \frac{y^{2} y^{4}}{y^{2} (3 (e^{x} - 2 y^{3} x))} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Étape 5.5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y^{2} y^{4}}{y^{2} (3 (e^{x} - 2 y^{3} x))} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Étape 5.5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Étape 5.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $y^{3}$ et $y^{2}$ .

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Étape 5.5.3.1.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- y^{3} e^{x}$ .

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{y^{2} (- y e^{x})}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Étape 5.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.2.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)$ .

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{y^{2} (- y e^{x})}{y^{2} (3 (e^{x} - 2 y^{3} x))} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Étape 5.5.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{y^{2} (- y e^{x})}{y^{2} (3 (e^{x} - 2 y^{3} x))} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Étape 5.5.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y e^{x}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Étape 5.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{y e^{x}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Étape 5.5.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{y e^{x}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{y e^{x}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$