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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Différenciez les deux côtés de l’équation.
Étape 2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 3
Étape 3.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 3.2
Multipliez les exposants dans .
Étape 3.2.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 3.2.2
Multipliez par .
Étape 3.3
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 3.4
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 3.4.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.4.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.4.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.5
Différenciez.
Étape 3.5.1
Déplacez à gauche de .
Étape 3.5.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.5.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.5.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.5.5
Simplifiez l’expression.
Étape 3.5.5.1
Additionnez et .
Étape 3.5.5.2
Multipliez par .
Étape 3.6
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 3.6.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.6.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.6.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.7
Différenciez.
Étape 3.7.1
Déplacez à gauche de .
Étape 3.7.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.7.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.7.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.7.5
Simplifiez l’expression.
Étape 3.7.5.1
Additionnez et .
Étape 3.7.5.2
Multipliez par .
Étape 3.8
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 3.8.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.8.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.8.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.9
Simplifiez en factorisant.
Étape 3.9.1
Multipliez par .
Étape 3.9.2
Factorisez à partir de .
Étape 3.9.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.9.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 3.9.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 3.10
Annulez les facteurs communs.
Étape 3.10.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.10.2
Annulez le facteur commun.
Étape 3.10.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3.11
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.12
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est où =.
Étape 3.13
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Étape 3.13.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.13.2
Additionnez et .
Étape 3.14
Simplifiez le numérateur.
Étape 3.14.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 3.14.1.1
Réécrivez comme .
Étape 3.14.1.2
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 3.14.1.2.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.1.2.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.1.2.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.1.3
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 3.14.1.3.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 3.14.1.3.1.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.14.1.3.1.1.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.14.1.3.1.1.2
Additionnez et .
Étape 3.14.1.3.1.2
Déplacez à gauche de .
Étape 3.14.1.3.1.3
Multipliez par .
Étape 3.14.1.3.2
Additionnez et .
Étape 3.14.1.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.1.5
Simplifiez
Étape 3.14.1.5.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 3.14.1.5.2
Multipliez par .
Étape 3.14.1.6
Multipliez par .
Étape 3.14.1.7
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.1.8
Simplifiez
Étape 3.14.1.8.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.14.1.8.1.1
Déplacez .
Étape 3.14.1.8.1.2
Multipliez par .
Étape 3.14.1.8.1.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 3.14.1.8.1.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.14.1.8.1.3
Additionnez et .
Étape 3.14.1.8.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.14.1.8.2.1
Déplacez .
Étape 3.14.1.8.2.2
Multipliez par .
Étape 3.14.1.8.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 3.14.1.8.2.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.14.1.8.2.3
Additionnez et .
Étape 3.14.1.9
Utilisez le théorème du binôme.
Étape 3.14.1.10
Simplifiez chaque terme.
Étape 3.14.1.10.1
Multipliez les exposants dans .
Étape 3.14.1.10.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 3.14.1.10.1.2
Multipliez par .
Étape 3.14.1.10.2
Multipliez les exposants dans .
Étape 3.14.1.10.2.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 3.14.1.10.2.2
Multipliez par .
Étape 3.14.1.10.3
Multipliez par .
Étape 3.14.1.10.4
Élevez à la puissance .
Étape 3.14.1.10.5
Multipliez par .
Étape 3.14.1.10.6
Élevez à la puissance .
Étape 3.14.1.11
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.1.12
Simplifiez
Étape 3.14.1.12.1
Multipliez par .
Étape 3.14.1.12.2
Multipliez par .
Étape 3.14.1.12.3
Multipliez par .
Étape 3.14.1.13
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.1.14
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.1.15
Simplifiez
Étape 3.14.1.15.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.14.1.15.1.1
Déplacez .
Étape 3.14.1.15.1.2
Multipliez par .
Étape 3.14.1.15.1.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 3.14.1.15.1.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.14.1.15.1.3
Additionnez et .
Étape 3.14.1.15.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.14.1.15.2.1
Déplacez .
Étape 3.14.1.15.2.2
Multipliez par .
Étape 3.14.1.15.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 3.14.1.15.2.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.14.1.15.2.3
Additionnez et .
Étape 3.14.1.15.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.14.1.15.3.1
Déplacez .
Étape 3.14.1.15.3.2
Multipliez par .
Étape 3.14.1.15.3.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 3.14.1.15.3.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.14.1.15.3.3
Additionnez et .
Étape 3.14.2
Développez en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.
Étape 3.14.3
Simplifiez chaque terme.
Étape 3.14.3.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 3.14.3.2
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 3.14.3.3
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 3.14.3.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 3.14.3.5
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 3.14.3.6
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 3.14.3.7
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 3.14.3.8
Multipliez par .
Étape 3.14.3.9
Multipliez par .
Étape 3.14.3.10
Multipliez par .
Étape 3.14.3.11
Multipliez par .
Étape 3.14.3.12
Multipliez par .
Étape 3.14.3.13
Multipliez par .
Étape 3.14.3.14
Multipliez par .
Étape 3.14.4
Utilisez le théorème du binôme.
Étape 3.14.5
Simplifiez chaque terme.
Étape 3.14.5.1
Multipliez les exposants dans .
Étape 3.14.5.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 3.14.5.1.2
Multipliez par .
Étape 3.14.5.2
Multipliez les exposants dans .
Étape 3.14.5.2.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 3.14.5.2.2
Multipliez par .
Étape 3.14.5.3
Multipliez par .
Étape 3.14.5.4
Élevez à la puissance .
Étape 3.14.5.5
Multipliez par .
Étape 3.14.5.6
Élevez à la puissance .
Étape 3.14.6
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.7
Simplifiez
Étape 3.14.7.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 3.14.7.2
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 3.14.7.3
Multipliez par .
Étape 3.14.8
Simplifiez chaque terme.
Étape 3.14.8.1
Multipliez par .
Étape 3.14.8.2
Multipliez par .
Étape 3.14.9
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10
Réécrivez en forme factorisée.
Étape 3.14.10.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.6
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.7
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.8
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.9
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.10
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.11
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.12
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.13
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.14
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.15
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.16
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.17
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.18
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.19
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.20
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.21
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.22
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.23
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.24
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.25
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.26
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.27
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.28
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.29
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.30
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.31
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.32
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.33
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.34
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.1.35
Factorisez à partir de .
Étape 3.14.10.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.14.10.3.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.14.10.3.2
Additionnez et .
Étape 3.14.10.4
Multipliez par .
Étape 3.14.10.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.6
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.7
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.14.10.7.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.14.10.7.2
Additionnez et .
Étape 3.14.10.8
Multipliez par .
Étape 3.14.10.9
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.10
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.11
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.14.10.11.1
Multipliez par .
Étape 3.14.10.11.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 3.14.10.11.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.14.10.11.2
Additionnez et .
Étape 3.14.10.12
Multipliez par .
Étape 3.14.10.13
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.14
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.15
Multipliez par .
Étape 3.14.10.16
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.17
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.14.10.17.1
Déplacez .
Étape 3.14.10.17.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.14.10.17.3
Additionnez et .
Étape 3.14.10.18
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.19
Multipliez par .
Étape 3.14.10.20
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.21
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.14.10.21.1
Déplacez .
Étape 3.14.10.21.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.14.10.21.3
Additionnez et .
Étape 3.14.10.22
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.23
Multipliez par .
Étape 3.14.10.24
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.25
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.14.10.25.1
Déplacez .
Étape 3.14.10.25.2
Multipliez par .
Étape 3.14.10.25.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 3.14.10.25.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.14.10.25.3
Additionnez et .
Étape 3.14.10.26
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.27
Multipliez par .
Étape 3.14.10.28
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.29
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.14.10.29.1
Déplacez .
Étape 3.14.10.29.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.14.10.29.3
Additionnez et .
Étape 3.14.10.30
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.31
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.32
Multipliez par .
Étape 3.14.10.33
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.34
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.14.10.34.1
Déplacez .
Étape 3.14.10.34.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.14.10.34.3
Additionnez et .
Étape 3.14.10.35
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.36
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.37
Multipliez par .
Étape 3.14.10.38
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.39
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.14.10.39.1
Déplacez .
Étape 3.14.10.39.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.14.10.39.3
Additionnez et .
Étape 3.14.10.40
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.41
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.42
Multipliez par .
Étape 3.14.10.43
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.14.10.44
Additionnez et .
Étape 3.14.10.45
Additionnez et .
Étape 3.14.10.46
Additionnez et .
Étape 3.14.10.47
Additionnez et .
Étape 3.14.10.48
Additionnez et .
Étape 3.14.10.49
Additionnez et .
Étape 3.14.10.50
Additionnez et .
Étape 3.14.10.51
Additionnez et .
Étape 3.14.10.52
Additionnez et .
Étape 3.14.10.53
Additionnez et .
Étape 3.14.10.54
Additionnez et .
Étape 3.14.10.55
Additionnez et .
Étape 3.14.10.56
Soustrayez de .
Étape 3.14.10.57
Soustrayez de .
Étape 3.14.10.58
Soustrayez de .
Étape 3.14.10.59
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 4
Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.
Étape 5
Remplacez par.