Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{3}}{x - 1}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x - 1})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $x - 1$ .

$\frac{3 \cdot (x - 1) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - x^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - x^{3} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - x^{3} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x + 3 \cdot - 1) x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.3.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.3.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3.2

Soustrayez $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{3} - 3 x^{2}$ .

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Étape 3.3.4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (2 x) - 3 x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.4.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 3}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.4.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 3$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{x^{2} (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2}}$