Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2}}{1 - x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{1 - x})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(1 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $1 - x$ .

$\frac{2 \cdot (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (1 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (1 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (1 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.2.7

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (1 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.2.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 (1 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (1 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.2.9

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x)) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- (x \cdot x)) + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.3.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- x^{2}) + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.3.3.2

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{{(- x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.5

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} + 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 2 x}{{(- x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.5.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- x) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (- x + 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.7

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 2))}{{(- x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x - 2))}{{(- x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.9

Réécrivez $- (x - 2)$ comme $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 2))}{{(- x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x (x - 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{x (x - 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (x - 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$