Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{4}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{4})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(2 x - 4)}^{5}$ et $g (x) = {(1 - x^{3})}^{4}$ .

${(2 x - 4)}^{5} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{3})}^{4}] + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 1 - x^{3}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 - x^{3}$ .

${(2 x - 4)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

${(2 x - 4)}^{5} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 - x^{3}$ .

${(2 x - 4)}^{5} (4 {(1 - x^{3})}^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Déplacez $4$ à gauche de ${(2 x - 4)}^{5}$ .

$4 \cdot {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{3}] + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$4 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Étape 3.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Étape 3.3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$4 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} \frac{d}{d x} [- x^{3}] + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Étape 3.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{3}]) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Étape 3.3.6

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 4 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} (3 x^{2}) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Étape 3.3.8

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = 2 x - 4$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x - 4$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + {(1 - x^{3})}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [2 x - 4])$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + {(1 - x^{3})}^{4} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 4])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x - 4$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + {(1 - x^{3})}^{4} (5 {(2 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 4])$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Déplacez $5$ à gauche de ${(1 - x^{3})}^{4}$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 \cdot {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 4]$

Étape 3.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 3.5.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 3.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 3.5.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} (2 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 3.5.6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} (2 + 0)$

Étape 3.5.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.5.7.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} \cdot 2$

Étape 3.5.7.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 10 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4}$

Étape 3.5.7.3

Factorisez $2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3}$ à partir de $- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 10 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4}$ .

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Étape 3.5.7.3.1

Factorisez $2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3}$ à partir de $- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2}$ .

$2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (- 6 (2 x - 4) x^{2}) + 10 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4}$

Étape 3.5.7.3.2

Factorisez $2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3}$ à partir de $10 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4}$ .

$2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (- 6 (2 x - 4) x^{2}) + 2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (5 (1 - x^{3}))$

Étape 3.5.7.3.3

Factorisez $2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3}$ à partir de $2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (- 6 (2 x - 4) x^{2}) + 2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (5 (1 - x^{3}))$ .

$2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (- 6 (2 x - 4) x^{2} + 5 (1 - x^{3}))$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (- 6 (2 x - 4) x^{2} + 5 (1 - x^{3}))$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (- 6 (2 x - 4) x^{2} + 5 (1 - x^{3}))$