Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x^{2} - 3 y)}^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 3 y)}^{3})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{2} - 3 y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 3 y$ .

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

Étape 3.2.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 y$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x - 3 y')$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x - 3 y')$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x - 3 y')$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez ${(x^{2} - 3 y)}^{2}$ comme $(x^{2} - 3 y) (x^{2} - 3 y)$ .

$y' = 3 ((x^{2} - 3 y) (x^{2} - 3 y)) (2 x - 3 y')$

Étape 5.1.2

Développez $(x^{2} - 3 y) (x^{2} - 3 y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = 3 (x^{2} (x^{2} - 3 y) - 3 y (x^{2} - 3 y)) (2 x - 3 y')$

Étape 5.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = 3 (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 y) - 3 y (x^{2} - 3 y)) (2 x - 3 y')$

Étape 5.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y' = 3 (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 y) - 3 y x^{2} - 3 y (- 3 y)) (2 x - 3 y')$

Étape 5.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = 3 (x^{2 + 2} + x^{2} (- 3 y) - 3 y x^{2} - 3 y (- 3 y)) (2 x - 3 y')$

Étape 5.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$y' = 3 (x^{4} + x^{2} (- 3 y) - 3 y x^{2} - 3 y (- 3 y)) (2 x - 3 y')$

Étape 5.1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} - 3 y (- 3 y)) (2 x - 3 y')$

Étape 5.1.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} - 3 \cdot - 3 y \cdot y) (2 x - 3 y')$

Étape 5.1.3.1.4

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.3.1.4.1

Déplacez $y$ .

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} - 3 \cdot - 3 (y \cdot y)) (2 x - 3 y')$

Étape 5.1.3.1.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} - 3 \cdot - 3 y^{2}) (2 x - 3 y')$

Étape 5.1.3.1.5

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} + 9 y^{2}) (2 x - 3 y')$

Étape 5.1.3.2

Soustrayez $3 y x^{2}$ de $- 3 x^{2} y$ .

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Étape 5.1.3.2.1

Déplacez $y$ .

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y + 9 y^{2}) (2 x - 3 y')$

Étape 5.1.3.2.2

Soustrayez $3 x^{2} y$ de $- 3 x^{2} y$ .

$y' = 3 (x^{4} - 6 x^{2} y + 9 y^{2}) (2 x - 3 y')$

Étape 5.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$y' = (3 x^{4} + 3 (- 6 x^{2} y) + 3 (9 y^{2})) (2 x - 3 y')$

Étape 5.1.5

Simplifiez

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Étape 5.1.5.1

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$y' = (3 x^{4} - 18 (x^{2} y) + 3 (9 y^{2})) (2 x - 3 y')$

Étape 5.1.5.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$y' = (3 x^{4} - 18 (x^{2} y) + 27 y^{2}) (2 x - 3 y')$

Étape 5.1.6

Développez $(3 x^{4} - 18 x^{2} y + 27 y^{2}) (2 x - 3 y')$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y' = 3 x^{4} (2 x) + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Étape 5.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.7.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = 3 \cdot 2 x^{4} x + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Étape 5.1.7.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.7.2.1

Déplacez $x$ .

$y' = 3 \cdot 2 (x \cdot x^{4}) + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Étape 5.1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 5.1.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = 3 \cdot 2 (x^{1} x^{4}) + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Étape 5.1.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = 3 \cdot 2 x^{1 + 4} + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Étape 5.1.7.2.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$y' = 3 \cdot 2 x^{5} + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Étape 5.1.7.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$y' = 6 x^{5} + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Étape 5.1.7.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = 6 x^{5} + 3 \cdot - 3 x^{4} y' - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Étape 5.1.7.5

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Étape 5.1.7.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.7.6.1

Déplacez $x$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 (x \cdot x^{2}) y \cdot 2 - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Étape 5.1.7.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.1.7.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 (x^{1} x^{2}) y \cdot 2 - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Étape 5.1.7.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 x^{1 + 2} y \cdot 2 - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Étape 5.1.7.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 x^{3} y \cdot 2 - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Étape 5.1.7.7

Multipliez $2$ par $- 18$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Étape 5.1.7.8

Multipliez $- 3$ par $- 18$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Étape 5.1.7.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 27 \cdot 2 y^{2} x + 27 y^{2} (- 3 y')$

Étape 5.1.7.10

Multipliez $27$ par $2$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x + 27 y^{2} (- 3 y')$

Étape 5.1.7.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x + 27 \cdot - 3 y^{2} y'$

Étape 5.1.7.12

Multipliez $27$ par $- 3$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y'$

Étape 5.2

Comme $y'$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y' = y'$

Étape 5.3

Soustrayez $y'$ des deux côtés de l’équation.

$6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y' - y' = 0$

Étape 5.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.4.1

Soustrayez $6 x^{5}$ des deux côtés de l’équation.

$- 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5}$

Étape 5.4.2

Ajoutez $36 x^{3} y$ aux deux côtés de l’équation.

$- 9 x^{4} y' + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y$

Étape 5.4.3

Soustrayez $54 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$- 9 x^{4} y' + 54 x^{2} y y' - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Étape 5.5

Factorisez $y'$ à partir de $- 9 x^{4} y' + 54 x^{2} y y' - 81 y^{2} y' - y'$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $y'$ à partir de $- 9 x^{4} y'$ .

$y' (- 9 x^{4}) + 54 x^{2} y y' - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Étape 5.5.2

Factorisez $y'$ à partir de $54 x^{2} y y'$ .

$y' (- 9 x^{4}) + y' (54 x^{2} y) - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Étape 5.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $- 81 y^{2} y'$ .

$y' (- 9 x^{4}) + y' (54 x^{2} y) + y' (- 81 y^{2}) - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Étape 5.5.4

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (- 9 x^{4}) + y' (54 x^{2} y) + y' (- 81 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Étape 5.5.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 9 x^{4}) + y' (54 x^{2} y)$ .

$y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y) + y' (- 81 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Étape 5.5.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y) + y' (- 81 y^{2})$ .

$y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Étape 5.5.7

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1) = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1) = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$ par $- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1$ et simplifiez.

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Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1) = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$ par $- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1$ .

$\frac{y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} = \frac{- 6 x^{5}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{- 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.6.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 6 x^{5}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{- 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.3.1

Simplifiez les termes.

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Étape 5.6.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.3.1.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{6 x^{5}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{- 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{6 x^{5}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} - \frac{54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.1.2

Associez en une fraction.

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Étape 5.6.3.1.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 6 x^{5} + 36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} - \frac{54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.3.2.1

Factorisez $6 x$ à partir de $- 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$ .

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Étape 5.6.3.2.1.1

Factorisez $6 x$ à partir de $- 6 x^{5}$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4}) + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.1.2

Factorisez $6 x$ à partir de $36 x^{3} y$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4}) + 6 x (6 x^{2} y) - 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.1.3

Factorisez $6 x$ à partir de $- 54 y^{2} x$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4}) + 6 x (6 x^{2} y) + 6 x (- 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.1.4

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (- x^{4}) + 6 x (6 x^{2} y)$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 6 x^{2} y) + 6 x (- 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.1.5

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (- x^{4} + 6 x^{2} y) + 6 x (- 9 y^{2})$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 6 x^{2} y - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.6.3.2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ et dont la somme est $b = 6$ .

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Étape 5.6.3.2.2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y' = \frac{6 x (- x^{4} - 9 y^{2} + 6 x^{2} y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.2.1.2

Remettez dans l’ordre $- 9 y^{2}$ et $6 x^{2} y$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 6 x^{2} y - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.2.1.3

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} y$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 6 (x^{2} y) - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.2.1.4

Réécrivez $6$ comme $3$ plus $3$

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + (3 + 3) (x^{2} y) - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 3 (x^{2} y) + 3 (x^{2} y) - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.2.1.6

Déplacez les parenthèses.

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 3 x^{2} y + 3 x^{2} y - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.6.3.2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y' = \frac{6 x ((- x^{4} + 3 x^{2} y) + 3 x^{2} y - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y' = \frac{6 x (x^{2} (- x^{2} + 3 y) - 3 y (- x^{2} + 3 y))}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x^{2} + 3 y$ .

$y' = \frac{6 x ((- x^{2} + 3 y) (x^{2} - 3 y))}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

$y' = \frac{6 x (- x^{2} + 3 y) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.3

Associez les exposants.

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Étape 5.6.3.2.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$y' = \frac{6 x (- (x^{2}) + 3 y) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $3 y$ .

$y' = \frac{6 x (- (x^{2}) - (- 3 y)) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 3 y)$ .

$y' = \frac{6 x (- (x^{2} - 3 y)) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.3.4

Réécrivez $- (x^{2} - 3 y)$ comme $- 1 (x^{2} - 3 y)$ .

$y' = \frac{6 x (- 1 (x^{2} - 3 y)) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.3.5

Élevez $x^{2} - 3 y$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{6 x \cdot - 1 ({(x^{2} - 3 y)}^{1} (x^{2} - 3 y))}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.3.6

Élevez $x^{2} - 3 y$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{6 x \cdot - 1 ({(x^{2} - 3 y)}^{1} {(x^{2} - 3 y)}^{1})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{6 x \cdot - 1 {(x^{2} - 3 y)}^{1 + 1}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$y' = \frac{6 x \cdot - 1 {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.2.3.9

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$y' = \frac{- 6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.6.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 x^{4}$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4}) + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $54 x^{2} y$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4}) - (- 54 x^{2} y) - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 x^{4}) - (- 54 x^{2} y)$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y) - 81 y^{2} - 1}$

Étape 5.6.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 81 y^{2}$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y) - (81 y^{2}) - 1}$

Étape 5.6.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 x^{4} - 54 x^{2} y) - (81 y^{2})$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2}) - 1}$

Étape 5.6.3.3.7

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2}) - 1 (1)}$

Étape 5.6.3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2}) - 1 (1)$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1)}$

Étape 5.6.3.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.3.3.9.1

Réécrivez $- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1)$ comme $- 1 (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1)$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- 1 (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1)}$

Étape 5.6.3.3.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$

Étape 5.6.3.3.9.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y' = 1 \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$

Étape 5.6.3.3.9.4

Multipliez $\frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$ par $1$ .

$y' = \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$