Calcul infinitésimal Exemples

$v (y) = x - \frac{3}{95} x^{3}$

Étape 1

Multipliez $y'$ par $y$ .

$y' y = x - \frac{3}{95} x^{3}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y' y) = \frac{d}{d x} (x - \frac{3}{95} x^{3})$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $y'$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y' y$ par rapport à $x$ est $y' \frac{d}{d x} [y]$ .

$y' \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y' y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{3}{95} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{95} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{95} x^{3}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{95} x^{3}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{95} x^{3}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $- \frac{3}{95}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{95} x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{95} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1 - \frac{3}{95} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$1 - \frac{3}{95} (3 x^{2})$

Étape 4.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$1 - 3 (\frac{3}{95}) x^{2}$

Étape 4.2.4

Associez $- 3$ et $\frac{3}{95}$ .

$1 + \frac{- 3 \cdot 3}{95} x^{2}$

Étape 4.2.5

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$1 + \frac{- 9}{95} x^{2}$

Étape 4.2.6

Associez $\frac{- 9}{95}$ et $x^{2}$ .

$1 + \frac{- 9 x^{2}}{95}$

Étape 4.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{9 x^{2}}{95}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{9 x^{2}}{95} + 1$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' y' = - \frac{9 x^{2}}{95} + 1$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y'$ par $y'$ .

${y'}^{2} = - \frac{9 x^{2}}{95} + 1$

Étape 6.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y' = \pm \sqrt{- \frac{9 x^{2}}{95} + 1}$

Étape 6.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{9 x^{2}}{95} + 1}$ .

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Étape 6.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y' = \pm \sqrt{- \frac{9 x^{2}}{95} + \frac{95}{95}}$

Étape 6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \pm \sqrt{\frac{- 9 x^{2} + 95}{95}}$

Étape 6.3.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{- 9 x^{2} + 95}{95}}$ comme $\frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95}}{\sqrt{95}}$ .

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95}}{\sqrt{95}}$

Étape 6.3.4

Multipliez $\frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95}}{\sqrt{95}}$ par $\frac{\sqrt{95}}{\sqrt{95}}$ .

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95}}{\sqrt{95}} \cdot \frac{\sqrt{95}}{\sqrt{95}}$

Étape 6.3.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95}}{\sqrt{95}}$ par $\frac{\sqrt{95}}{\sqrt{95}}$ .

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{\sqrt{95} \sqrt{95}}$

Étape 6.3.5.2

Élevez $\sqrt{95}$ à la puissance $1$ .

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{{\sqrt{95}}^{1} \sqrt{95}}$

Étape 6.3.5.3

Élevez $\sqrt{95}$ à la puissance $1$ .

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{{\sqrt{95}}^{1} {\sqrt{95}}^{1}}$

Étape 6.3.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{{\sqrt{95}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{{\sqrt{95}}^{2}}$

Étape 6.3.5.6

Réécrivez ${\sqrt{95}}^{2}$ comme $95$ .

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Étape 6.3.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{95}$ comme $95^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{{(95^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{95^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{95^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{95^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{95^{1}}$

Étape 6.3.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{95}$

Étape 6.3.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y' = \pm \frac{\sqrt{(- 9 x^{2} + 95) \cdot 95}}{95}$

Étape 6.3.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(- 9 x^{2} + 95) \cdot 95}}{95}$ .

$y' = \pm \frac{\sqrt{95 (- 9 x^{2} + 95)}}{95}$

Étape 6.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y' = \frac{\sqrt{95 (- 9 x^{2} + 95)}}{95}$

Étape 6.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y' = - \frac{\sqrt{95 (- 9 x^{2} + 95)}}{95}$

Étape 6.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y' = \frac{\sqrt{95 (- 9 x^{2} + 95)}}{95}, - \frac{\sqrt{95 (- 9 x^{2} + 95)}}{95}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{95 (- 9 x^{2} + 95)}}{95}, - \frac{\sqrt{95 (- 9 x^{2} + 95)}}{95}$