Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (6 x + 3 y) = x y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\sin (6 x + 3 y)) = \frac{d}{d x} (x y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 6 x + 3 y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x + 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [6 x + 3 y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [6 x + 3 y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x + 3 y$ .

$\cos (6 x + 3 y) \frac{d}{d x} [6 x + 3 y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 3 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\cos (6 x + 3 y) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Étape 2.2.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (6 x + 3 y) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (6 x + 3 y) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Étape 2.2.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$\cos (6 x + 3 y) (6 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Étape 2.2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (6 x + 3 y) (6 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\cos (6 x + 3 y) (6 + 3 y')$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Étape 3.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$x y' + y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\cos (6 x + 3 y) (6 + 3 y') = x y' + y$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $\cos (6 x + 3 y) (6 + 3 y')$ .

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Étape 5.1.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + \cos (6 x + 3 y) (6 + 3 y') = x y' + y$

Étape 5.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$\cos (6 x + 3 y) (6 + 3 y') = x y' + y$

Étape 5.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (6 x + 3 y) \cdot 6 + \cos (6 x + 3 y) (3 y') = x y' + y$

Étape 5.1.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1.4.1

Déplacez $6$ à gauche de $\cos (6 x + 3 y)$ .

$6 \cdot \cos (6 x + 3 y) + \cos (6 x + 3 y) (3 y') = x y' + y$

Étape 5.1.1.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 \cdot \cos (6 x + 3 y) + 3 \cos (6 x + 3 y) y' = x y' + y$

Étape 5.1.1.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $6 \cos (6 x + 3 y) + 3 \cos (6 x + 3 y) y'$ .

$6 \cos (6 x + 3 y) + 3 y' \cos (6 x + 3 y) = x y' + y$

Étape 5.2

Soustrayez $x y'$ des deux côtés de l’équation.

$6 \cos (6 x + 3 y) + 3 y' \cos (6 x + 3 y) - x y' = y$

Étape 5.3

Soustrayez $6 \cos (6 x + 3 y)$ des deux côtés de l’équation.

$3 y' \cos (6 x + 3 y) - x y' = y - 6 \cos (6 x + 3 y)$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $3 y' \cos (6 x + 3 y) - x y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $3 y' \cos (6 x + 3 y)$ .

$y' (3 \cos (6 x + 3 y)) - x y' = y - 6 \cos (6 x + 3 y)$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x y'$ .

$y' (3 \cos (6 x + 3 y)) + y' (- x) = y - 6 \cos (6 x + 3 y)$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 \cos (6 x + 3 y)) + y' (- x)$ .

$y' (3 \cos (6 x + 3 y) - x) = y - 6 \cos (6 x + 3 y)$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (3 \cos (6 x + 3 y) - x) = y - 6 \cos (6 x + 3 y)$ par $3 \cos (6 x + 3 y) - x$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (3 \cos (6 x + 3 y) - x) = y - 6 \cos (6 x + 3 y)$ par $3 \cos (6 x + 3 y) - x$ .

$\frac{y' (3 \cos (6 x + 3 y) - x)}{3 \cos (6 x + 3 y) - x} = \frac{y}{3 \cos (6 x + 3 y) - x} + \frac{- 6 \cos (6 x + 3 y)}{3 \cos (6 x + 3 y) - x}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3 \cos (6 x + 3 y) - x$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 \cos (6 x + 3 y) - x)}{3 \cos (6 x + 3 y) - x} = \frac{y}{3 \cos (6 x + 3 y) - x} + \frac{- 6 \cos (6 x + 3 y)}{3 \cos (6 x + 3 y) - x}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y}{3 \cos (6 x + 3 y) - x} + \frac{- 6 \cos (6 x + 3 y)}{3 \cos (6 x + 3 y) - x}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{y}{3 \cos (6 x + 3 y) - x} - \frac{6 \cos (6 x + 3 y)}{3 \cos (6 x + 3 y) - x}$

Étape 5.5.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y - 6 \cos (6 x + 3 y)}{3 \cos (6 x + 3 y) - x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 6 \cos (6 x + 3 y)}{3 \cos (6 x + 3 y) - x}$