Calcul infinitésimal Exemples

$\cot (y) = x - 8 y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\cot (y)) = \frac{d}{d x} (x - 8 y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\cot (u)$ par rapport à $u$ est $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \csc^{2} (y) y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 8 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 8 y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 y]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 y$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - 8 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 - 8 y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- \csc^{2} (y) y' = 1 - 8 y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \csc^{2} (y) y'$ .

$- y' \csc^{2} (y) = 1 - 8 y'$

Étape 5.2

Ajoutez $8 y'$ aux deux côtés de l’équation.

$- y' \csc^{2} (y) + 8 y' = 1$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $- y' \csc^{2} (y) + 8 y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $- y' \csc^{2} (y)$ .

$y' (- 1 \csc^{2} (y)) + 8 y' = 1$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $8 y'$ .

$y' (- 1 \csc^{2} (y)) + y' \cdot 8 = 1$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 1 \csc^{2} (y)) + y' \cdot 8$ .

$y' (- 1 \csc^{2} (y) + 8) = 1$

Étape 5.4

Réécrivez $- 1 \csc^{2} (y)$ comme $- \csc^{2} (y)$ .

$y' (- \csc^{2} (y) + 8) = 1$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (- \csc^{2} (y) + 8) = 1$ par $- \csc^{2} (y) + 8$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (- \csc^{2} (y) + 8) = 1$ par $- \csc^{2} (y) + 8$ .

$\frac{y' (- \csc^{2} (y) + 8)}{- \csc^{2} (y) + 8} = \frac{1}{- \csc^{2} (y) + 8}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- \csc^{2} (y) + 8$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- \csc^{2} (y) + 8)}{- \csc^{2} (y) + 8} = \frac{1}{- \csc^{2} (y) + 8}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{- \csc^{2} (y) + 8}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc^{2} (y)$ .

$y' = \frac{1}{- (\csc^{2} (y)) + 8}$

Étape 5.5.3.2

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$y' = \frac{1}{- (\csc^{2} (y)) - 1 (- 8)}$

Étape 5.5.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\csc^{2} (y)) - 1 (- 8)$ .

$y' = \frac{1}{- (\csc^{2} (y) - 8)}$

Étape 5.5.3.4

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.5.3.4.1

Réécrivez $- (\csc^{2} (y) - 8)$ comme $- 1 (\csc^{2} (y) - 8)$ .

$y' = \frac{1}{- 1 (\csc^{2} (y) - 8)}$

Étape 5.5.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1}{\csc^{2} (y) - 8}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{\csc^{2} (y) - 8}$