Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (4 y) = 5 x y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\ln (4 y)) = \frac{d}{d x} (5 x y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 4 y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 y$ .

$\frac{1}{4 y} \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{4 y} (4 \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4 y}$ .

$\frac{4}{4 y} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{4 y} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Étape 2.4

Associez $\frac{1}{y}$ et $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x y$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x y' + y \cdot 1)$

Étape 3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$5 (x y' + y)$

Étape 3.6

Appliquez la propriété distributive.

$5 x y' + 5 y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{y'}{y} = 5 x y' + 5 y$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (5 x y' + 5 y) y$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y'}{y} y = (5 x y' + 5 y) y$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = (5 x y' + 5 y) y$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $(5 x y' + 5 y) y$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = 5 x y' y + 5 y \cdot y$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Déplacez $y$ .

$y' = 5 x y' y + 5 (y \cdot y)$

Étape 5.2.2.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y' = 5 x y' y + 5 y^{2}$

Étape 5.2.2.1.3

Déplacez $x$ .

$y' = 5 y' x y + 5 y^{2}$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $5 y' x y$ des deux côtés de l’équation.

$y' - 5 y' x y = 5 y^{2}$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' - 5 y' x y$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 5 y' x y = 5 y^{2}$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 5 y' x y$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 5 x y) = 5 y^{2}$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot 1 + y' (- 5 x y)$ .

$y' (1 - 5 x y) = 5 y^{2}$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $y' (1 - 5 x y) = 5 y^{2}$ par $1 - 5 x y$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (1 - 5 x y) = 5 y^{2}$ par $1 - 5 x y$ .

$\frac{y' (1 - 5 x y)}{1 - 5 x y} = \frac{5 y^{2}}{1 - 5 x y}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - 5 x y$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 - 5 x y)}{1 - 5 x y} = \frac{5 y^{2}}{1 - 5 x y}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{5 y^{2}}{1 - 5 x y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y^{2}}{1 - 5 x y}$