Calcul infinitésimal Exemples

$x = 6 {(3 y - 8)}^{4}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (6 {(3 y - 8)}^{4})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{d}{d x} [6 ({(3 y)}^{4} + 4 {(3 y)}^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 y$ .

$\frac{d}{d x} [6 (3^{4} y^{4} + 4 {(3 y)}^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Étape 3.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 4 {(3 y)}^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $3 y$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 4 (3^{3} y^{3}) \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Étape 3.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 4 (27 y^{3}) \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $27$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 108 y^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $- 8$ par $108$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Étape 3.2.1.7

Appliquez la règle de produit à $3 y$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 6 (3^{2} y^{2}) {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Étape 3.2.1.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 6 (9 y^{2}) {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Étape 3.2.1.9

Multipliez $9$ par $6$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 54 y^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Étape 3.2.1.10

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 54 y^{2} \cdot 64 + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Étape 3.2.1.11

Multipliez $64$ par $54$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Étape 3.2.1.12

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} + 12 y {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Étape 3.2.1.13

Élevez $- 8$ à la puissance $3$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} + 12 y \cdot - 512 + {(- 8)}^{4})]$

Étape 3.2.1.14

Multipliez $- 512$ par $12$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + {(- 8)}^{4})]$

Étape 3.2.1.15

Élevez $- 8$ à la puissance $4$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096)]$

Étape 3.2.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096]$ .

$6 \frac{d}{d x} [81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096]$

Étape 3.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [81 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096]$ .

$6 (\frac{d}{d x} [81 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.2.4

Comme $81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $81 y^{4}$ par rapport à $x$ est $81 \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$6 (81 \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$6 (81 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$6 (81 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$6 (81 (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.4

Multipliez $4$ par $81$ .

$6 (324 (y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 (324 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.6

Comme $- 864$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 864 y^{3}$ par rapport à $x$ est $- 864 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$6 (324 y^{3} y' - 864 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$6 (324 y^{3} y' - 864 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$6 (324 y^{3} y' - 864 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$6 (324 y^{3} y' - 864 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.8

Multipliez $3$ par $- 864$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 (y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.9

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.10

Comme $3456$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3456 y^{2}$ par rapport à $x$ est $3456 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.11.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $y$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.11.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.11.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $y$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.12

Multipliez $2$ par $3456$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 (y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.13

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.14

Comme $- 6144$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6144 y$ par rapport à $x$ est $- 6144 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.15

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y' + \frac{d}{d x} [4096])$

Étape 3.16

Comme $4096$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4096$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y' + 0)$

Étape 3.17

Additionnez $324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y'$ et $0$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y')$

Étape 3.18

Simplifiez

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Étape 3.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 (324 y^{3} y') + 6 (- 2592 y^{2} y') + 6 (6912 y y') + 6 (- 6144 y')$

Étape 3.18.2

Associez des termes.

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Étape 3.18.2.1

Multipliez $324$ par $6$ .

$1944 (y^{3} y') + 6 (- 2592 y^{2} y') + 6 (6912 y y') + 6 (- 6144 y')$

Étape 3.18.2.2

Multipliez $- 2592$ par $6$ .

$1944 y^{3} y' - 15552 (y^{2} y') + 6 (6912 y y') + 6 (- 6144 y')$

Étape 3.18.2.3

Multipliez $6912$ par $6$ .

$1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 (y y') + 6 (- 6144 y')$

Étape 3.18.2.4

Multipliez $- 6144$ par $6$ .

$1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = 1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y' = 1$ .

$1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y' = 1$

Étape 5.2

Factorisez $72 y'$ à partir de $1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $72 y'$ à partir de $1944 y^{3} y'$ .

$72 y' (27 y^{3}) - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y' = 1$

Étape 5.2.2

Factorisez $72 y'$ à partir de $- 15552 y^{2} y'$ .

$72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2}) + 41472 y y' - 36864 y' = 1$

Étape 5.2.3

Factorisez $72 y'$ à partir de $41472 y y'$ .

$72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2}) + 72 y' (576 y) - 36864 y' = 1$

Étape 5.2.4

Factorisez $72 y'$ à partir de $- 36864 y'$ .

$72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2}) + 72 y' (576 y) + 72 y' \cdot - 512 = 1$

Étape 5.2.5

Factorisez $72 y'$ à partir de $72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2})$ .

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2}) + 72 y' (576 y) + 72 y' \cdot - 512 = 1$

Étape 5.2.6

Factorisez $72 y'$ à partir de $72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2}) + 72 y' (576 y)$ .

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y) + 72 y' \cdot - 512 = 1$

Étape 5.2.7

Factorisez $72 y'$ à partir de $72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y) + 72 y' \cdot - 512$ .

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512) = 1$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512) = 1$ par $72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512) = 1$ par $72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)$ .

$\frac{72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $72$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$