Calcul infinitésimal Exemples

$x y (2 x + 3 y) = 2$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x y (2 x + 3 y)) = \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x y$ et $g (x) = 2 x + 3 y$ .

$x y \frac{d}{d x} [2 x + 3 y] + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$x y (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]) + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x y (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]) + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]) + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$x y (2 + \frac{d}{d x} [3 y]) + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x y (2 + 3 \frac{d}{d x} [y]) + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y (2 + 3 y') + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x y (2 + 3 y') + (2 x + 3 y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y (2 + 3 y') + (2 x + 3 y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y (2 + 3 y') + (2 x + 3 y) (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.7

Multipliez $y$ par $1$ .

$x y (2 + 3 y') + (2 x + 3 y) (x y' + y)$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$x y \cdot 2 + x y (3 y') + (2 x + 3 y) (x y' + y)$

Étape 2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$x y \cdot 2 + x y (3 y') + (2 x + 3 y) (x y') + (2 x + 3 y) y$

Étape 2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$x y \cdot 2 + x y (3 y') + 2 x (x y') + 3 y (x y') + (2 x + 3 y) y$

Étape 2.8.4

Appliquez la propriété distributive.

$x y \cdot 2 + x y (3 y') + 2 x (x y') + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

Étape 2.8.5

Associez des termes.

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Étape 2.8.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $x y$ .

$2 \cdot (x y) + x y (3 y') + 2 x (x y') + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

Étape 2.8.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 (x^{1} x) y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

Étape 2.8.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 (x^{1} x^{1}) y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

Étape 2.8.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{1 + 1} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

Étape 2.8.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{2} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

Étape 2.8.5.6

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{2} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 (y^{1} y)$

Étape 2.8.5.7

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{2} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 (y^{1} y^{1})$

Étape 2.8.5.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{2} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y^{1 + 1}$

Étape 2.8.5.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{2} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y^{2}$

Étape 2.8.5.10

Déplacez $y$ .

$2 x y + 3 \cdot x y y' + 3 x y y' + 2 x^{2} y' + 2 x y + 3 y^{2}$

Étape 2.8.5.11

Additionnez $3 x y y'$ et $3 x y y'$ .

$2 x y + 6 x y y' + 2 x^{2} y' + 2 x y + 3 y^{2}$

Étape 2.8.5.12

Additionnez $2 x y$ et $2 x y$ .

$4 x y + 6 x y y' + 2 x^{2} y' + 3 y^{2}$

Étape 2.8.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 y^{2} + 4 x y + 6 x y y' + 2 x^{2} y'$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 y^{2} + 4 x y + 6 x y y' + 2 x^{2} y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $3 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 x y + 6 x y y' + 2 x^{2} y' = - 3 y^{2}$

Étape 5.1.2

Soustrayez $4 x y$ des deux côtés de l’équation.

$6 x y y' + 2 x^{2} y' = - 3 y^{2} - 4 x y$

Étape 5.2

Factorisez $2 x y'$ à partir de $6 x y y' + 2 x^{2} y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 x y'$ à partir de $6 x y y'$ .

$2 x y' (3 y) + 2 x^{2} y' = - 3 y^{2} - 4 x y$

Étape 5.2.2

Factorisez $2 x y'$ à partir de $2 x^{2} y'$ .

$2 x y' (3 y) + 2 x y' x = - 3 y^{2} - 4 x y$

Étape 5.2.3

Factorisez $2 x y'$ à partir de $2 x y' (3 y) + 2 x y' x$ .

$2 x y' (3 y + x) = - 3 y^{2} - 4 x y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 x y' (3 y + x) = - 3 y^{2} - 4 x y$ par $2 x (3 y + x)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x y' (3 y + x) = - 3 y^{2} - 4 x y$ par $2 x (3 y + x)$ .

$\frac{2 x y' (3 y + x)}{2 x (3 y + x)} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x y' (3 y + x)}{2 x (3 y + x)} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y' (3 y + x)}{x (3 y + x)} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' (3 y + x)}{x (3 y + x)} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (3 y + x)}{3 y + x} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $3 y + x$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 y + x)}{3 y + x} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x y$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 x (3 y + x)}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x (3 y + x)$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 (x (3 y + x))}$

Étape 5.3.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 (x (3 y + x))}$

Étape 5.3.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (3 y + x)}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (3 y + x)}$

Étape 5.3.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 2 y}{3 y + x}$

Étape 5.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} - \frac{2 y}{3 y + x}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $- \frac{2 y}{3 y + x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} - \frac{2 y}{3 y + x} \cdot \frac{2 x}{2 x}$

Étape 5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 x (3 y + x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{2 y}{3 y + x}$ par $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} - \frac{2 y (2 x)}{(3 y + x) (2 x)}$

Étape 5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(3 y + x) (2 x)$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} - \frac{2 y (2 x)}{2 x (3 y + x)}$

Étape 5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 3 y^{2} - 2 y (2 x)}{2 x (3 y + x)}$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- 3 y^{2} - 2 y \cdot 2 x$ .

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Étape 5.3.3.5.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- 3 y) - 2 y \cdot 2 x}{2 x (3 y + x)}$

Étape 5.3.3.5.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y \cdot 2 x$ .

$y' = \frac{y (- 3 y) + y (- 2 \cdot 2 x)}{2 x (3 y + x)}$

Étape 5.3.3.5.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- 3 y) + y (- 2 \cdot 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- 3 y - 2 \cdot 2 x)}{2 x (3 y + x)}$

Étape 5.3.3.5.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y' = \frac{y (- 3 y - 4 x)}{2 x (3 y + x)}$

Étape 5.3.3.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.3.3.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y$ .

$y' = \frac{y (- (3 y) - 4 x)}{2 x (3 y + x)}$

Étape 5.3.3.6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x$ .

$y' = \frac{y (- (3 y) - (4 x))}{2 x (3 y + x)}$

Étape 5.3.3.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 y) - (4 x)$ .

$y' = \frac{y (- (3 y + 4 x))}{2 x (3 y + x)}$

Étape 5.3.3.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.6.4.1

Réécrivez $- (3 y + 4 x)$ comme $- 1 (3 y + 4 x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (3 y + 4 x))}{2 x (3 y + x)}$

Étape 5.3.3.6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y (3 y + 4 x)}{2 x (3 y + x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (3 y + 4 x)}{2 x (3 y + x)}$