Calcul infinitésimal Exemples

$y = \log (\ln (x))$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\log (\ln (x)))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log (x)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\log (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$\frac{1}{\ln (x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\ln (x) \ln (10)} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 3.3

Associez les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\ln (x) \ln (10)}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\ln (x) \ln (10) x}$

Étape 3.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{x \ln (10) \ln (x)}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{1}{x \ln (10) \ln (x)}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \ln (10) \ln (x)}$