Calcul infinitésimal Exemples

$8 \sqrt{y} = x - 5 y$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$8 y^{\frac{1}{2}} = x - 5 y$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (8 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x - 5 y)$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 y^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.9

Placez $y^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.10

Associez $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ et $8$ .

$\frac{8}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.11

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (y^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 4}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.13

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}} y'$

Étape 3.14

Associez $\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}}$ et $y'$ .

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 y$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 4.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 - 5 y'$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} = 1 - 5 y'$

Étape 6

Résolvez $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez les deux côtés par $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - 5 y') y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - 5 y') y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 y' = (1 - 5 y') y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $(1 - 5 y') y^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 y' = 1 y^{\frac{1}{2}} - 5 y' y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1.2.1

Multipliez $y^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$4 y' = y^{\frac{1}{2}} - 5 y' y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2.1.2.2

Remettez dans l’ordre $y^{\frac{1}{2}}$ et $- 5 y' y^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y' = - 5 y' y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.3.1

Ajoutez $5 y' y^{\frac{1}{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$4 y' + 5 y' y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.2

Déterminez un facteur commun $y^{\frac{1}{2}}$ présent dans chaque terme.

$4 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 y' y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.3

Remplacez $y^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

$4 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 y' u - (u) = 0$

Étape 6.3.4

Résolvez $u$ .

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Étape 6.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.4.1.1

Multipliez les exposants dans ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.4.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 y' u - u = 0$

Étape 6.3.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 y' u - u = 0$

Étape 6.3.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {y'}^{1} + 5 y' u - u = 0$

Étape 6.3.4.1.2

Simplifiez

$4 y' + 5 y' u - u = 0$

Étape 6.3.4.2

Soustrayez $4 y'$ des deux côtés de l’équation.

$5 y' u - u = - 4 y'$

Étape 6.3.4.3

Factorisez $u$ à partir de $5 y' u - u$ .

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Étape 6.3.4.3.1

Factorisez $u$ à partir de $5 y' u$ .

$u (5 y') - u = - 4 y'$

Étape 6.3.4.3.2

Factorisez $u$ à partir de $- u$ .

$u (5 y') + u \cdot - 1 = - 4 y'$

Étape 6.3.4.3.3

Factorisez $u$ à partir de $u (5 y') + u \cdot - 1$ .

$u (5 y' - 1) = - 4 y'$

Étape 6.3.4.4

Divisez chaque terme dans $u (5 y' - 1) = - 4 y'$ par $5 y' - 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $u (5 y' - 1) = - 4 y'$ par $5 y' - 1$ .

$\frac{u (5 y' - 1)}{5 y' - 1} = \frac{- 4 y'}{5 y' - 1}$

Étape 6.3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $5 y' - 1$ .

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Étape 6.3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{u (5 y' - 1)}{5 y' - 1} = \frac{- 4 y'}{5 y' - 1}$

Étape 6.3.4.4.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 4 y'}{5 y' - 1}$

Étape 6.3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.4.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{4 y'}{5 y' - 1}$

Étape 6.3.5

Remplacez $u$ par $y'$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4 y'}{5 y' - 1}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y'}{5 y' - 1}$