Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (x^{2} y) = x y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\arctan (x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (x y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = x^{2} y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + y (2 x))$

Étape 2.5

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la règle de produit à $x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

Étape 2.6.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

Étape 2.6.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

Étape 2.6.3

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$ .

$(x^{2} y' + 2 y x) \frac{1}{1 + x^{4} y^{2}}$

Étape 2.6.4

Multipliez $x^{2} y' + 2 y x$ par $\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}}$ .

$\frac{x^{2} y' + 2 y x}{1 + x^{4} y^{2}}$

Étape 2.6.5

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} y' + 2 y x$ .

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Étape 2.6.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} y'$ .

$\frac{x (x y') + 2 y x}{1 + x^{4} y^{2}}$

Étape 2.6.5.2

Factorisez $x$ à partir de $2 y x$ .

$\frac{x (x y') + x (2 y)}{1 + x^{4} y^{2}}$

Étape 2.6.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x y') + x (2 y)$ .

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} \cdot 1$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$2 x y y' + y^{2}$

Étape 3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{2} + 2 x y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} = y^{2} + 2 x y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $1 + x^{4} y^{2}$ .

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2}) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2})$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $1 + x^{4} y^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2}) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x (x y' + 2 y) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (x y') + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.1.3.1

Déplacez $x$ .

$x \cdot x y' + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} y' + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} y' + 2 x y = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.1.1.5

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $y'$ .

$y' x^{2} + 2 x y = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $(y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Développez $(y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} (1 + x^{4} y^{2}) + 2 x y y' (1 + x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{4} y^{2}) + 2 x y y' (1 + x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{4} y^{2}) + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.2.1.1

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2} (x^{4} y^{2}) + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.2.1.2.1

Déplacez $y^{2}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2} y^{2} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2 + 2} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Étape 5.2.2.1.2.1.4

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.2.1.4.1

Déplacez $x^{4}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 (x^{4} x) y y' y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2.1.4.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 5.2.2.1.2.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 (x^{4} x^{1}) y y' y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{4 + 1} y y' y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2.1.4.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y y' y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2.1.5

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.2.1.5.1

Déplacez $y^{2}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} (y^{2} y) y'$

Étape 5.2.2.1.2.1.5.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 5.2.2.1.2.1.5.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} (y^{2} y^{1}) y'$

Étape 5.2.2.1.2.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{2 + 1} y'$

Étape 5.2.2.1.2.1.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{3} y'$

Étape 5.2.2.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1.2.2.1

Remettez dans l’ordre $y^{4}$ et $x^{4}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{3} y'$

Étape 5.2.2.1.2.2.2

Déplacez $y$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 x y' y + 2 x^{5} y^{3} y'$

Étape 5.2.2.1.2.2.3

Déplacez $x$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 x^{5} y^{3} y'$

Étape 5.2.2.1.2.2.4

Déplacez $y^{3}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 x^{5} y' y^{3}$

Étape 5.2.2.1.2.2.5

Déplacez $x^{5}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 y' x^{5} y^{3}$

Étape 5.2.2.1.2.2.6

Déplacez $y^{2}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 y' x^{5} y^{3} + y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2.2.7

Déplacez $2 y' x y$ .

$y' x^{2} + 2 x y = x^{4} y^{4} + 2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y + y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2.2.8

Remettez dans l’ordre $x^{4} y^{4}$ et $2 y' x^{5} y^{3}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = 2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + y^{2}$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Comme $y'$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + y^{2} = y' x^{2} + 2 x y$

Étape 5.3.2

Soustrayez $y' x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + y^{2} - y' x^{2} = 2 x y$

Étape 5.3.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $x^{4} y^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y + y^{2} - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4}$

Étape 5.3.3.2

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Étape 5.3.4

Factorisez $y' x$ à partir de $2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y - y' x^{2}$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $y' x$ à partir de $2 y' x^{5} y^{3}$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + 2 y' x y - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Étape 5.3.4.2

Factorisez $y' x$ à partir de $2 y' x y$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y) - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Étape 5.3.4.3

Factorisez $y' x$ à partir de $- y' x^{2}$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y) + y' x (- 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Étape 5.3.4.4

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y)$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y) + y' x (- 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Étape 5.3.4.5

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y) + y' x (- 1 x)$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Étape 5.3.5

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Étape 5.3.6

Divisez chaque terme dans $y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$ par $x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.6.1

Divisez chaque terme dans $y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$ par $x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)$ .

$\frac{y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.2.2

Annulez le facteur commun de $2 x^{4} y^{3} + 2 y - x$ .

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Étape 5.3.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.6.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.6.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

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Étape 5.3.6.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{4} y^{4}$ .

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{x (- x^{3} y^{4})}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.6.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{x (- x^{3} y^{4})}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.6.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 y - x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $2 y - x^{3} y^{4}$ .

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Étape 5.3.6.3.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{y \cdot 2 - x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.2.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- x^{3} y^{4}$ .

$y' = \frac{y \cdot 2 + y (- x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.2.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 2 + y (- x^{3} y^{3})$ .

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.3

Pour écrire $\frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.6.3.4.1

Multipliez $\frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3}) x}{(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.4.2

Réorganisez les facteurs de $(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x$ .

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3}) x}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3}) x - y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.6.3.6.1

Factorisez $y$ à partir de $y (2 - x^{3} y^{3}) x - y^{2}$ .

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Étape 5.3.6.3.6.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y (2 - x^{3} y^{3}) x$ .

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3}) x) - y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3}) x) + y (- y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y ((2 - x^{3} y^{3}) x) + y (- y)$ .

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3}) x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{y (2 x - x^{3} y^{3} x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.3

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.6.3.6.3.1

Déplacez $x$ .

$y' = \frac{y (2 x - (x \cdot x^{3}) y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.3.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 5.3.6.3.6.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{y (2 x - (x^{1} x^{3}) y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{y (2 x - x^{1 + 3} y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 5.3.6.3.6.3.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$y' = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$