Calcul infinitésimal Exemples

$9 y \sin (x^{2}) = 5 x \sin (y^{2})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (9 y \sin (x^{2})) = \frac{d}{d x} (5 x \sin (y^{2}))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 y \sin (x^{2})$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [y \sin (x^{2})]$ .

$9 \frac{d}{d x} [y \sin (x^{2})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y$ et $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$9 (y \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$9 (y (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$9 (y (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$9 (y (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 (y \cos (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$9 (y \cos (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) y')$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 (y \cos (x^{2}) (2 x)) + 9 (\sin (x^{2}) y')$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 y \cos (x^{2}) x + 9 \sin (x^{2}) y'$

Étape 2.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$18 x y \cos (x^{2}) + 9 \sin (x^{2}) y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x \sin (y^{2})$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x \sin (y^{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x \sin (y^{2})]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (y^{2})$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [\sin (y^{2})] + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = y^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y^{2}$ .

$5 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$5 (x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y^{2}$ .

$5 (x (\cos (y^{2}) \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$5 (x \cos (y^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (x \cos (y^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$5 (x \cos (y^{2}) (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 (x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2}) \cdot 1)$

Étape 3.7

Multipliez $\sin (y^{2})$ par $1$ .

$5 (x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2}))$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (x \cos (y^{2}) (2 y y')) + 5 \sin (y^{2})$

Étape 3.8.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 x \cos (y^{2}) (y y') + 5 \sin (y^{2})$

Étape 3.8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$10 x y \cos (y^{2}) y' + 5 \sin (y^{2})$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$18 x y \cos (x^{2}) + 9 \sin (x^{2}) y' = 10 x y \cos (y^{2}) y' + 5 \sin (y^{2})$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $18 x y \cos (x^{2}) + 9 \sin (x^{2}) y'$ .

$18 x y \cos (x^{2}) + 9 y' \sin (x^{2}) = 10 x y \cos (y^{2}) y' + 5 \sin (y^{2})$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $10 x y \cos (y^{2}) y' + 5 \sin (y^{2})$ .

$18 x y \cos (x^{2}) + 9 y' \sin (x^{2}) = 10 x y y' \cos (y^{2}) + 5 \sin (y^{2})$

Étape 5.3

Soustrayez $10 x y y' \cos (y^{2})$ des deux côtés de l’équation.

$18 x y \cos (x^{2}) + 9 y' \sin (x^{2}) - 10 x y y' \cos (y^{2}) = 5 \sin (y^{2})$

Étape 5.4

Soustrayez $18 x y \cos (x^{2})$ des deux côtés de l’équation.

$9 y' \sin (x^{2}) - 10 x y y' \cos (y^{2}) = 5 \sin (y^{2}) - 18 x y \cos (x^{2})$

Étape 5.5

Factorisez $y'$ à partir de $9 y' \sin (x^{2}) - 10 x y y' \cos (y^{2})$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $y'$ à partir de $9 y' \sin (x^{2})$ .

$y' (9 \sin (x^{2})) - 10 x y y' \cos (y^{2}) = 5 \sin (y^{2}) - 18 x y \cos (x^{2})$

Étape 5.5.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 10 x y y' \cos (y^{2})$ .

$y' (9 \sin (x^{2})) + y' (- 10 x y \cos (y^{2})) = 5 \sin (y^{2}) - 18 x y \cos (x^{2})$

Étape 5.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (9 \sin (x^{2})) + y' (- 10 x y \cos (y^{2}))$ .

$y' (9 \sin (x^{2}) - 10 x y \cos (y^{2})) = 5 \sin (y^{2}) - 18 x y \cos (x^{2})$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $y' (9 \sin (x^{2}) - 10 x y \cos (y^{2})) = 5 \sin (y^{2}) - 18 x y \cos (x^{2})$ par $9 \sin (x^{2}) - 10 x y \cos (y^{2})$ et simplifiez.

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Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $y' (9 \sin (x^{2}) - 10 x y \cos (y^{2})) = 5 \sin (y^{2}) - 18 x y \cos (x^{2})$ par $9 \sin (x^{2}) - 10 x y \cos (y^{2})$ .

$\frac{y' (9 \sin (x^{2}) - 10 x y \cos (y^{2}))}{9 \sin (x^{2}) - 10 x y \cos (y^{2})} = \frac{5 \sin (y^{2})}{9 \sin (x^{2}) - 10 x y \cos (y^{2})} + \frac{- 18 x y \cos (x^{2})}{9 \sin (x^{2}) - 10 x y \cos (y^{2})}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $9 \sin (x^{2}) - 10 x y \cos (y^{2})$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.6.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{5 \sin (y^{2})}{9 \sin (x^{2}) - 10 x y \cos (y^{2})} + \frac{- 18 x y \cos (x^{2})}{9 \sin (x^{2}) - 10 x y \cos (y^{2})}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{5 \sin (y^{2})}{9 \sin (x^{2}) - 10 x y \cos (y^{2})} - \frac{18 x y \cos (x^{2})}{9 \sin (x^{2}) - 10 x y \cos (y^{2})}$

Étape 5.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{5 \sin (y^{2}) - 18 x y \cos (x^{2})}{9 \sin (x^{2}) - 10 x y \cos (y^{2})}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 \sin (y^{2}) - 18 x y \cos (x^{2})}{9 \sin (x^{2}) - 10 x y \cos (y^{2})}$