Calcul infinitésimal Exemples

$3 y^{2} - \sin (x y) - 5 \sqrt{x} = 0$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y^{2} - \sin (x y) - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (3 y^{2} - \sin (x y) - 5 x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 y^{2} - \sin (x y) - 5 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 y y' + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x y)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x y)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$6 y y' - \frac{d}{d x} [\sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x y$ .

$6 y y' - (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$6 y y' - (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x y$ .

$6 y y' - (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$6 y y' - (\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 y y' - (\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 y y' - (\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.3.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 3.4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 3.4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 3.4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 3.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 3.4.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3.4.9

Associez $- 5$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) + \frac{- 5 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3.4.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.4.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 y y' - \cos (x y) (x y') - \cos (x y) y - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 y y' - x \cos (x y) y' - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$6 y y' - x \cos (x y) y' - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $6 y y' - x \cos (x y) y' - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$6 y y' - x y' \cos (x y) - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.2.1

Ajoutez $y \cos (x y)$ aux deux côtés de l’équation.

$6 y y' - x y' \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = y \cos (x y)$

Étape 6.2.2

Ajoutez $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ aux deux côtés de l’équation.

$6 y y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3

Factorisez $y'$ à partir de $6 y y' - x y' \cos (x y)$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $6 y y'$ .

$y' (6 y) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' \cos (x y)$ .

$y' (6 y) + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (6 y) + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (6 y - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.4

Divisez chaque terme dans $y' (6 y - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $6 y - x \cos (x y)$ et simplifiez.

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Étape 6.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (6 y - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $6 y - x \cos (x y)$ .

$\frac{y' (6 y - x \cos (x y))}{6 y - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y - x \cos (x y)}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $6 y - x \cos (x y)$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (6 y - x \cos (x y))}{6 y - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y - x \cos (x y)}$

Étape 6.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y - x \cos (x y)}$

Étape 6.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{6 y - x \cos (x y)}$

Étape 6.4.3.1.2

Multipliez $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{6 y - x \cos (x y)}$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Étape 6.4.3.2

Pour écrire $\frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Étape 6.4.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(6 y - x \cos (x y)) \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.4.3.3.1

Multipliez $\frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)}$ par $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{y \cos (x y) (2 x^{\frac{1}{2}})}{(6 y - x \cos (x y)) (2 x^{\frac{1}{2}})} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Étape 6.4.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(6 y - x \cos (x y)) (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{y \cos (x y) (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Étape 6.4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y \cos (x y) (2 x^{\frac{1}{2}}) + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Étape 6.4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.4.3.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{2 y \cos (x y) x^{\frac{1}{2}} + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Étape 6.4.3.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{2 y \cos (x y) x^{\frac{1}{2}} + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$ .

$y' = \frac{2 y x^{\frac{1}{2}} \cos (x y) + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y x^{\frac{1}{2}} \cos (x y) + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$