Calcul infinitésimal Exemples

$3 (x^{2} + y^{2}) = 100 (x^{2} - y^{2})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (3 (x^{2} + y^{2})) = \frac{d}{d x} (100 (x^{2} - y^{2}))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 (x^{2} + y^{2})$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 (2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 (2 x + 2 y y')$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (2 x) + 3 (2 y y')$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + 3 (2 y y')$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + 6 y y'$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 y y' + 6 x$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100 (x^{2} - y^{2})$ par rapport à $x$ est $100 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$100 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$100 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Étape 3.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$100 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$100 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$100 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$100 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$100 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$100 (2 x - 2 y y')$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$100 (2 x) + 100 (- 2 y y')$

Étape 3.5.2

Associez des termes.

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $2$ par $100$ .

$200 x + 100 (- 2 y y')$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $- 2$ par $100$ .

$200 x - 200 y y'$

Étape 3.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 200 y y' + 200 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$6 y y' + 6 x = - 200 y y' + 200 x$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1.1

Ajoutez $200 y y'$ aux deux côtés de l’équation.

$6 y y' + 6 x + 200 y y' = 200 x$

Étape 5.1.2

Additionnez $6 y y'$ et $200 y y'$ .

$206 y y' + 6 x = 200 x$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $6 x$ des deux côtés de l’équation.

$206 y y' = 200 x - 6 x$

Étape 5.2.2

Soustrayez $6 x$ de $200 x$ .

$206 y y' = 194 x$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $206 y y' = 194 x$ par $206 y$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $206 y y' = 194 x$ par $206 y$ .

$\frac{206 y y'}{206 y} = \frac{194 x}{206 y}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $206$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{206 y y'}{206 y} = \frac{194 x}{206 y}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{194 x}{206 y}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{194 x}{206 y}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{194 x}{206 y}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun à $194$ et $206$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $194 x$ .

$y' = \frac{2 (97 x)}{206 y}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $206 y$ .

$y' = \frac{2 (97 x)}{2 (103 y)}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (97 x)}{2 (103 y)}$

Étape 5.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{97 x}{103 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{97 x}{103 y}$