Calcul infinitésimal Exemples

$3 e^{x y} - x = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (3 e^{x y} - x) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 e^{x y} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 e^{x y}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{x y}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{x y}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$3 (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$3 (e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 (e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (e^{x y} (x y' + y \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$3 e^{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{x y} (x y' + y) - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 e^{x y} (x y' + y) - 1 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 e^{x y} (x y' + y) - 1$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 e^{x y} (x y') + 3 e^{x y} y - 1$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 e^{x y} x y' + 3 e^{x y} y - 1$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 e^{x y} x y' + 3 e^{x y} y - 1 = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{x y} x y' + 3 e^{x y} y - 1$ .

$3 x y' e^{x y} + 3 y e^{x y} - 1 = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $3 y e^{x y}$ des deux côtés de l’équation.

$3 x y' e^{x y} - 1 = - 3 y e^{x y}$

Étape 5.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x y' e^{x y} = - 3 y e^{x y} + 1$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $3 x y' e^{x y} = - 3 y e^{x y} + 1$ par $3 x e^{x y}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x y' e^{x y} = - 3 y e^{x y} + 1$ par $3 x e^{x y}$ .

$\frac{3 x y' e^{x y}}{3 x e^{x y}} = \frac{- 3 y e^{x y}}{3 x e^{x y}} + \frac{1}{3 x e^{x y}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x y' e^{x y}}{3 x e^{x y}} = \frac{- 3 y e^{x y}}{3 x e^{x y}} + \frac{1}{3 x e^{x y}}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y' e^{x y}}{x e^{x y}} = \frac{- 3 y e^{x y}}{3 x e^{x y}} + \frac{1}{3 x e^{x y}}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' e^{x y}}{x e^{x y}} = \frac{- 3 y e^{x y}}{3 x e^{x y}} + \frac{1}{3 x e^{x y}}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{- 3 y e^{x y}}{3 x e^{x y}} + \frac{1}{3 x e^{x y}}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $e^{x y}$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{- 3 y e^{x y}}{3 x e^{x y}} + \frac{1}{3 x e^{x y}}$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 y e^{x y}}{3 x e^{x y}} + \frac{1}{3 x e^{x y}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 y e^{x y}$ .

$y' = \frac{3 (- y e^{x y})}{3 x e^{x y}} + \frac{1}{3 x e^{x y}}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x e^{x y}$ .

$y' = \frac{3 (- y e^{x y})}{3 (x e^{x y})} + \frac{1}{3 x e^{x y}}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 (- y e^{x y})}{3 (x e^{x y})} + \frac{1}{3 x e^{x y}}$

Étape 5.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}} + \frac{1}{3 x e^{x y}}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{x y}$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}} + \frac{1}{3 x e^{x y}}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{1}{3 x e^{x y}}$

Étape 5.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{1}{3 x e^{x y}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{1}{3 x e^{x y}}$