Calcul infinitésimal Exemples

$a = 5 y^{0.6} x^{- 0.3} z$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d z} (a) = \frac{d}{d z} (5 y^{0.6} x^{- 0.3} z)$

Étape 2

Comme $a$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $a$ par rapport à $z$ est $0$ .

$0$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d z} [5 y^{0.6} \frac{1}{x^{0.3}} z]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.2.1

Associez $5$ et $\frac{1}{x^{0.3}}$ .

$\frac{d}{d z} [y^{0.6} \frac{5}{x^{0.3}} z]$

Étape 3.2.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.2.1

Associez $y^{0.6}$ et $\frac{5}{x^{0.3}}$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{y^{0.6} \cdot 5}{x^{0.3}} z]$

Étape 3.2.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $y^{0.6}$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{5 \cdot y^{0.6}}{x^{0.3}} z]$

Étape 3.2.2.3

Associez $\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ et $z$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{5 y^{0.6} z}{x^{0.3}}]$

Étape 3.2.3

Comme $\frac{5}{x^{0.3}}$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $\frac{5 y^{0.6} z}{x^{0.3}}$ par rapport à $z$ est $\frac{5}{x^{0.3}} \frac{d}{d z} [y^{0.6} z]$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} \frac{d}{d z} [y^{0.6} z]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ est $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ où $f (z) = y^{0.6}$ et $g (z) = z$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} \frac{d}{d z} [z] + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} \cdot 1 + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

Étape 3.4.2

Multipliez $y^{0.6}$ par $1$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ est $f' (g (z)) g' (z)$ où $f (z) = z^{0.6}$ et $g (z) = y$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (\frac{d}{d u} [u^{0.6}] \frac{d}{d z} [y]))$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 0.6$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (0.6 u^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y]))$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (0.6 y^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y]))$

Étape 3.6

Déplacez $0.6$ à gauche de $z$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 \cdot z y^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y])$

Étape 3.7

Réécrivez $\frac{d}{d z} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 z y^{- 0.4} y')$

Étape 3.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

Étape 3.9

Simplifiez

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Étape 3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5}{x^{0.3}} y^{0.6} + \frac{5}{x^{0.3}} (0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

Étape 3.9.2

Associez des termes.

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Étape 3.9.2.1

Associez $\frac{5}{x^{0.3}}$ et $y^{0.6}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

Étape 3.9.2.2

Associez $0.6$ et $\frac{1}{y^{0.4}}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (z \frac{0.6}{y^{0.4}} y')$

Étape 3.9.2.3

Associez $z$ et $\frac{0.6}{y^{0.4}}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (\frac{z \cdot 0.6}{y^{0.4}} y')$

Étape 3.9.2.4

Déplacez $0.6$ à gauche de $z$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (\frac{0.6 \cdot z}{y^{0.4}} y')$

Étape 3.9.2.5

Associez $\frac{0.6 z}{y^{0.4}}$ et $y'$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} \cdot \frac{0.6 z y'}{y^{0.4}}$

Étape 3.9.2.6

Multipliez $\frac{5}{x^{0.3}}$ par $\frac{0.6 z y'}{y^{0.4}}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5 (0.6 z y')}{x^{0.3} y^{0.4}}$

Étape 3.9.2.7

Multipliez $0.6$ par $5$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}}$

Étape 3.9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$0 = \frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} = 0$ .

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

Étape 5.3

Multipliez les deux côtés par $x^{0.3} y^{0.4}$ .

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} (x^{0.3} y^{0.4}) = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Étape 5.4

Simplifiez

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Étape 5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{0.3} y^{0.4}$ .

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Étape 5.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} (x^{0.3} y^{0.4}) = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Étape 5.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 z y' = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez $- \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{0.3}$ .

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Étape 5.4.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ dans le numérateur.

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Étape 5.4.2.1.1.2

Factorisez $x^{0.3}$ à partir de $x^{0.3} y^{0.4}$ .

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} (y^{0.4}))$

Étape 5.4.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Étape 5.4.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$3 z y' = - 5 y^{0.6} y^{0.4}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $y^{0.6}$ par $y^{0.4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.2.1.2.1

Déplacez $y^{0.4}$ .

$3 z y' = - 5 (y^{0.4} y^{0.6})$

Étape 5.4.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 z y' = - 5 y^{0.4 + 0.6}$

Étape 5.4.2.1.2.3

Additionnez $0.4$ et $0.6$ .

$3 z y' = - 5 y^{1}$

Étape 5.4.2.1.3

Simplifiez $- 5 y^{1}$ .

$3 z y' = - 5 y$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $3 z y' = - 5 y$ par $3 z$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $3 z y' = - 5 y$ par $3 z$ .

$\frac{3 z y'}{3 z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 z y'}{3 z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{z y'}{z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $z$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{z y'}{z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Étape 5.5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 5 y}{3 z}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $3$ .

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Étape 5.5.3.1.1

Factorisez $1$ à partir de $- 5 y$ .

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{3 z}$

Étape 5.5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.2.1

Factorisez $1$ à partir de $3 z$ .

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{1 (3 z)}$

Étape 5.5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{1 (3 z)}$

Étape 5.5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 5 y}{3 z}$

Étape 5.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{5 y}{3 z}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d z}$ .

$\frac{d y}{d z} = - \frac{5 y}{3 z}$